1. **Planteamiento del problema:** Tenemos el sistema de ecuaciones de la recta $r$: $$\begin{cases} x - 2y - 2z = 1 \\ x + 5y - z = 0 \end{cases}$$ Y el plano $\alpha$ definido por: $$\alpha : 2x + y + mz = n$$ Queremos determinar $m$ y $n$ para que: a) $r$ y $\alpha$ sean secantes. b) $r$ y $\alpha$ sean paralelos. c) $r$ esté contenida en $\alpha$. 2. **Obtener la forma paramétrica de la recta $r$:** De las ecuaciones de $r$: $$\begin{cases} x - 2y - 2z = 1 \\ x + 5y - z = 0 \end{cases}$$ Restamos la segunda de la primera para eliminar $x$: $$ (x - 2y - 2z) - (x + 5y - z) = 1 - 0 \Rightarrow -7y - z = 1 $$ De aquí: $$ z = -7y - 1 $$ Sustituimos $z$ en la segunda ecuación: $$ x + 5y - (-7y - 1) = 0 \Rightarrow x + 5y + 7y + 1 = 0 \Rightarrow x + 12y = -1 $$ Entonces: $$ x = -1 - 12y $$ Sea $y = t$ parámetro, entonces: $$ \begin{cases} x = -1 - 12t \\ y = t \\ z = -7t - 1 \end{cases} $$ 3. **Condición para que $r$ y $\alpha$ sean secantes:** Para que $r$ y $\alpha$ se corten, debe existir un $t$ tal que el punto de $r$ satisfaga la ecuación del plano: $$ 2x + y + mz = n $$ Sustituimos: $$ 2(-1 - 12t) + t + m(-7t - 1) = n $$ Simplificamos: $$ -2 - 24t + t - 7mt - m = n $$ $$ -2 - m + t(-24 + 1 - 7m) = n $$ $$ -2 - m + t(-23 - 7m) = n $$ Para que exista solución en $t$, la expresión debe ser compatible para algún $t$. 4. **a) $r$ y $\alpha$ son secantes:** Debe existir $t$ que satisfaga la ecuación, es decir, la ecuación no puede ser imposible. Si el coeficiente de $t$ es cero, la ecuación será: $$ -2 - m = n $$ Si además el término independiente no coincide con $n$, no hay solución. Entonces, para que sean secantes, el coeficiente de $t$ no debe ser cero: $$ -23 - 7m \neq 0 \Rightarrow m \neq -\frac{23}{7} $$ Y para cualquier $n$. 5. **b) $r$ y $\alpha$ son paralelos:** Para que $r$ esté contenido en un plano paralelo a $\alpha$, la recta no debe cortar el plano, es decir, no debe existir $t$ que satisfaga la ecuación. Esto ocurre si el coeficiente de $t$ es cero y el término independiente no coincide con $n$: $$ -23 - 7m = 0 \Rightarrow m = -\frac{23}{7} $$ Y $$ -2 - m \neq n $$ 6. **c) $r$ está contenida en $\alpha$:** Para que $r$ esté contenida en $\alpha$, todos los puntos de $r$ deben satisfacer la ecuación del plano para todo $t$. Esto implica que el coeficiente de $t$ sea cero y el término independiente igual a $n$: $$ -23 - 7m = 0 \Rightarrow m = -\frac{23}{7} $$ $$ -2 - m = n $$ Sustituyendo $m$: $$ n = -2 - \left(-\frac{23}{7}\right) = -2 + \frac{23}{7} = \frac{-14 + 23}{7} = \frac{9}{7} $$ **Respuesta final:** - a) $m \neq -\frac{23}{7}$, $n$ cualquier valor. - b) $m = -\frac{23}{7}$, $n \neq -2 - m$. - c) $m = -\frac{23}{7}$, $n = \frac{9}{7}$.