1. Planteamos el problema: Tenemos una recta $L: y = mx + b$ y una circunferencia $C: x^2 + y^2 = r^2$. Queremos analizar qué significa que la discriminante de la ecuación resultante sea cero. 2. Para encontrar la intersección entre $L$ y $C$, sustituimos $y = mx + b$ en la ecuación de la circunferencia: $$x^2 + (mx + b)^2 = r^2$$ 3. Expandimos y simplificamos: $$x^2 + m^2x^2 + 2mbx + b^2 = r^2$$ $$ (1 + m^2)x^2 + 2mbx + (b^2 - r^2) = 0$$ 4. Esta es una ecuación cuadrática en $x$ de la forma $Ax^2 + Bx + C = 0$ con: $$A = 1 + m^2, \quad B = 2mb, \quad C = b^2 - r^2$$ 5. La discriminante $ riangle$ de esta cuadrática es: $$\triangle = B^2 - 4AC = (2mb)^2 - 4(1 + m^2)(b^2 - r^2)$$ 6. Si la discriminante es cero, la ecuación tiene una única solución real, lo que significa que la recta toca la circunferencia en un solo punto, es decir, son tangentes. --- 7. Ahora, para la parábola $y^2 = 8x$, queremos encontrar su directriz. 8. La forma estándar de una parábola horizontal es: $$y^2 = 4px$$ 9. Comparando, tenemos $4p = 8$ entonces: $$p = 2$$ 10. Para una parábola con vértice en el origen y que abre hacia la derecha, la directriz es la línea vertical: $$x = -p$$ 11. Por lo tanto, la directriz es: $$x = -2$$ **Respuesta final:** - Para la primera proposición, si la discriminante es cero, la recta y la circunferencia son tangentes. - Para la segunda proposición, la directriz de la parábola $y^2 = 8x$ es $x = -2$.