1. **Planteamiento del problema:** Dadas las rectas $\ell_1$ y $\ell_2$ en forma paramétrica: $\ell_1:$ $x=3+t, y=-1-2t, z=6+3t$ $\ell_2:$ $x=1+2s, y=-3-s, z=2+4s$ Se pide: - Encontrar un vector ortogonal a ambas rectas. - Determinar si las rectas se intersectan y, en caso afirmativo, hallar el punto de intersección. 2. **Vector director de cada recta:** El vector director de $\ell_1$ es el coeficiente de $t$: $$\vec{v}_1 = \langle 1, -2, 3 \rangle$$ El vector director de $\ell_2$ es el coeficiente de $s$: $$\vec{v}_2 = \langle 2, -1, 4 \rangle$$ 3. **Vector ortogonal a ambas rectas:** Un vector ortogonal a dos vectores es su producto cruz: $$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & 4 \end{vmatrix}$$ Calculamos: $$\vec{n} = \mathbf{i}((-2)(4) - 3(-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 4 - 3 \cdot 2) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - (-2) \cdot 2)$$ $$= \mathbf{i}(-8 + 3) - \mathbf{j}(4 - 6) + \mathbf{k}(-1 + 4)$$ $$= \mathbf{i}(-5) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(3) = \langle -5, 2, 3 \rangle$$ 4. **Determinar si las rectas se intersectan:** Para que se intersecten, debe existir $t, s$ tales que: \[ \begin{cases} 3 + t = 1 + 2s \\ -1 - 2t = -3 - s \\ 6 + 3t = 2 + 4s \end{cases} \] Resolvemos el sistema: De la primera ecuación: $$t = 1 + 2s - 3 = 2s - 2$$ Sustituimos en la segunda: $$-1 - 2(2s - 2) = -3 - s$$ $$-1 - 4s + 4 = -3 - s$$ $$3 - 4s = -3 - s$$ Sumamos $4s$ y $3$ a ambos lados: $$3 + 3 = -s + 4s$$ $$6 = 3s$$ $$s = 2$$ Ahora $t = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$ Verificamos en la tercera ecuación: $$6 + 3(2) = 2 + 4(2)$$ $$6 + 6 = 2 + 8$$ $$12 = 10$$ Esto es falso, por lo que no hay solución común. 5. **Conclusión:** Las rectas no se intersectan porque el sistema es inconsistente. **Respuesta final:** - Vector ortogonal a $\ell_1$ y $\ell_2$: $$\boxed{\langle -5, 2, 3 \rangle}$$ - Las rectas no se intersectan porque no existe $t, s$ que satisfaga simultáneamente las tres ecuaciones paramétricas.