1. Enunciado do problema: Temos uma elipse centrada na origem com focos E e F no eixo Ox. Os pontos A e C são interseções da elipse com o eixo Ox, e B e D com o eixo Oy. Os segmentos [EF] e [BD] são diâmetros de uma circunferência. O polígono EBFD tem área 18. 2. Dados importantes e fórmulas: - A equação geral da elipse centrada na origem com eixos nos eixos coordenados é $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$, onde $a$ é o semi-eixo maior e $b$ o semi-eixo menor. - Os focos estão em $(-c,0)$ e $(c,0)$, com $c^2 = a^2 - b^2$. - Os pontos A e C são $(\pm a,0)$ e B e D são $(0,\pm b)$. - A circunferência tem diâmetro [BD], logo seu raio é $r = \frac{BD}{2} = b$. - O polígono EBFD é um losango formado pelos pontos E$(-c,0)$, B$(0,-b)$, F$(c,0)$, D$(0,b)$. 3. Determinar as coordenadas dos pontos E e C: - Sabemos que $E=(-c,0)$ e $F=(c,0)$. - O segmento [EF] é um diâmetro da circunferência, assim o raio da circunferência é $r = c$. - O segmento [BD] também é diâmetro da mesma circunferência, então $BD = 2b = 2c \Rightarrow b = c$. 4. Área do polígono EBFD: - EBFD é um losango com diagonais [EF] e [BD]. - A área do losango é $$\text{Área} = \frac{d_1 \times d_2}{2}$$, onde $d_1 = EF = 2c$ e $d_2 = BD = 2b$. - Como $b = c$, temos $$\text{Área} = \frac{2c \times 2c}{2} = 2c^2$$. - Sabemos que a área é 18, então $$2c^2 = 18 \Rightarrow c^2 = 9 \Rightarrow c = 3$$. 5. Determinar $a$ e $b$: - Como $b = c = 3$. - Para a elipse, $c^2 = a^2 - b^2$, então $$9 = a^2 - 9 \Rightarrow a^2 = 18 \Rightarrow a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$. 6. Coordenadas dos pontos E e C: - $E = (-c,0) = (-3,0)$ - $C = (a,0) = (3\sqrt{2},0)$ 7. Mostrar que $$9x^2 + 18y^2 = 162$$ é equação da elipse: - Dividindo ambos os lados por 162: $$\frac{9x^2}{162} + \frac{18y^2}{162} = 1$$ $$\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$$ - Como $a^2 = 18$ e $b^2 = 9$, esta é a equação padrão da elipse. 8. Determinar a área da região colorida (losango EBFD): - Já calculamos a área do losango como 18. Resposta final: - Pontos E e C: $E=(-3,0)$ e $C=(3\sqrt{2},0)$. - A equação da elipse é $$9x^2 + 18y^2 = 162$$. - A área da região colorida (losango EBFD) é 18.