1. Enunciado do problema: Temos uma elipse centrada na origem $O(0,0)$ com focos $E$ e $F$ no eixo $Ox$. A elipse intercepta o eixo $Ox$ nos pontos $A$ e $C$, e o eixo $Oy$ nos pontos $B$ e $D$. Os segmentos $[EF]$ e $[BD]$ são diâmetros de uma circunferência, e o polígono $[EBFD]$ tem área igual a 18. 2. Dados importantes e fórmulas: - A equação geral da elipse centrada na origem com semi-eixos $a$ (eixo maior) e $b$ (eixo menor) é $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$ - Os focos estão localizados em $E(-c,0)$ e $F(c,0)$, com $c^2 = a^2 - b^2$. - O polígono $EBFD$ é formado pelos pontos $E(-c,0)$, $B(0,b)$, $F(c,0)$ e $D(0,-b)$. - A área do polígono $EBFD$ é dada por $$\text{Área} = 2cb,$$ pois é um losango com diagonais $2c$ e $2b$. 3. Determinar as coordenadas dos pontos $E$ e $C$: - Sabemos que $[EF]$ e $[BD]$ são diâmetros da circunferência, logo $EF$ e $BD$ são as diagonais do losango $EBFD$. - A área do losango é $$18 = 2cb \implies cb = 9.$$ - Os pontos $A$ e $C$ são os extremos do eixo maior, então $A(-a,0)$ e $C(a,0)$. - Os focos são $E(-c,0)$ e $F(c,0)$. 4. Mostrar que a equação da elipse é $$9x^2 + 18y^2 = 162$$: - Dividindo ambos os lados por 162, temos $$\frac{9x^2}{162} + \frac{18y^2}{162} = 1 \implies \frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1.$$ - Portanto, $a^2 = 18$ e $b^2 = 9$, logo $a = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ e $b = 3$. 5. Calcular $c$: $$c^2 = a^2 - b^2 = 18 - 9 = 9 \implies c = 3.$$ 6. Coordenadas dos pontos: - $E(-c,0) = (-3,0)$ - $C(a,0) = (3\sqrt{2},0)$ 7. Determinar a área da região colorida (polígono $EBFD$): - Área do losango $EBFD = 2cb = 2 \times 3 \times 3 = 18$ (dado no problema). Resposta final: - Coordenadas de $E$ e $C$ são $E(-3,0)$ e $C(3\sqrt{2},0)$. - A equação da elipse é $$9x^2 + 18y^2 = 162.$$ - A área da região colorida é 18.