1. **Enunciado do problema:** Temos uma pirâmide quadrangular regular com pontos dados no referencial Oxyz: - \(\overrightarrow{AB} = (5, -1, 0)\) - \(D = (-1, 6, 0)\) - \(V = (1, 3, 7)\) Queremos: a) Determinar as coordenadas do vetor \(\overrightarrow{DV}\) b) Determinar as coordenadas do ponto \(C\) c) Verificar se os vetores \(\overrightarrow{AB}\) e \(u = (0, -2, 1)\) são colineares e justificar. 2. **Fórmulas e regras importantes:** - O vetor \(\overrightarrow{XY}\) é dado por \(\overrightarrow{XY} = Y - X\), ou seja, subtração coordenada a coordenada. - Em uma pirâmide quadrangular regular, a base é um quadrado e os lados da base são iguais e perpendiculares. - Vetores \(\overrightarrow{a}\) e \(\overrightarrow{b}\) são colineares se existe um escalar \(k\) tal que \(\overrightarrow{a} = k \overrightarrow{b}\). 3. **a) Determinar \(\overrightarrow{DV}\):** \[ \overrightarrow{DV} = V - D = (1 - (-1), 3 - 6, 7 - 0) = (1 + 1, -3, 7) = (2, -3, 7) \] 4. **b) Determinar as coordenadas de \(C\):** - Sabemos que a base é um quadrado com vértices \(A, B, C, D\). - Dado \(\overrightarrow{AB} = (5, -1, 0)\), o lado \(AB\) tem essas coordenadas. - Como a base é um quadrado, \(\overrightarrow{BC}\) é perpendicular a \(\overrightarrow{AB}\) e tem o mesmo comprimento. Calcule o comprimento de \(\overrightarrow{AB}\): \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} \] Para encontrar \(\overrightarrow{BC}\), precisamos de um vetor perpendicular a \(\overrightarrow{AB}\) no plano base (z=0), então o vetor \(\overrightarrow{BC} = (x, y, 0)\) tal que: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \Rightarrow 5x + (-1)y = 0 \Rightarrow 5x = y \] Escolhemos \(x = 1\), então \(y = 5\), e o vetor \(\overrightarrow{BC} = (1, 5, 0)\). Verificamos o comprimento: \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26} \] Igual ao lado \(AB\), perfeito. Agora, as coordenadas de \(C\) são: \[ C = B + \overrightarrow{BC} \] Mas não temos \(B\) explicitamente, então vamos encontrar \(B\) usando \(\overrightarrow{AB} = B - A\). Seja \(A = (x_A, y_A, z_A)\) e \(B = (x_B, y_B, z_B)\), então: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (5, -1, 0) \] Como a base está no plano \(z=0\), podemos assumir \(z_A = z_B = 0\). Para simplificar, vamos assumir \(A = (0,0,0)\) (origem da base), então: \[ B = (5, -1, 0) \] Logo: \[ C = B + \overrightarrow{BC} = (5, -1, 0) + (1, 5, 0) = (6, 4, 0) \] 5. **c) Verificar se \(\overrightarrow{AB}\) e \(u = (0, -2, 1)\) são colineares:** - Para serem colineares, deve existir \(k\) tal que: \[ (5, -1, 0) = k (0, -2, 1) \] - Isso implica: \[ 5 = 0 \cdot k \Rightarrow 5 = 0 \quad \text{(falso)} \] Portanto, não existe tal \(k\) e os vetores não são colineares. **Resposta final:** - a) \(\overrightarrow{DV} = (2, -3, 7)\) - b) \(C = (6, 4, 0)\) - c) Os vetores \(\overrightarrow{AB}\) e \(u\) não são colineares porque não existe escalar \(k\) que satisfaça a igualdade.