1. **Enunciado do problema:** Temos os pontos $A(-1,6,-4)$ e $B(5,0,2)$, a reta $r$ dada por $(x,y,z) = (-4,2,0) + k(2,-5,-3)$, e o plano $\alpha$ com equação $6x + 2y - 3z + 68 = 0$. 7.1. Determinar a equação do plano perpendicular à reta $r$ que passa pelo ponto médio do segmento $[AB]$. 7.2. Determinar a distância do ponto $A$ ao ponto $I$, onde $I$ é a interseção da reta $s$ perpendicular ao plano $\alpha$ passando por $A$ com o próprio plano $\alpha$. 2. **Passo 1: Encontrar o ponto médio $M$ do segmento $[AB]$** A fórmula do ponto médio entre $A(x_1,y_1,z_1)$ e $B(x_2,y_2,z_2)$ é: $$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$$ Calculando: $$M = \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{6+0}{2}, \frac{-4+2}{2}\right) = (2, 3, -1)$$ 3. **Passo 2: Determinar o vetor diretor da reta $r$** O vetor diretor é o coeficiente de $k$ na reta $r$: $$\vec{v} = (2, -5, -3)$$ 4. **Passo 3: Equação do plano perpendicular à reta $r$ que passa por $M$** Um plano perpendicular à reta $r$ tem vetor normal igual ao vetor diretor da reta $r$. Logo, o vetor normal do plano é: $$\vec{n} = (2, -5, -3)$$ A equação geral do plano é: $$a x + b y + c z + d = 0$$ onde $(a,b,c) = \vec{n}$ e $d$ é calculado usando o ponto $M$: $$2 \cdot 2 + (-5) \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) + d = 0$$ $$4 - 15 + 3 + d = 0$$ $$-8 + d = 0 \Rightarrow d = 8$$ Portanto, a equação do plano é: $$2x - 5y - 3z + 8 = 0$$ 5. **Passo 4: Determinar a reta $s$ perpendicular ao plano $\alpha$ passando por $A$** O vetor normal do plano $\alpha$ é: $$\vec{n}_\alpha = (6, 2, -3)$$ A reta $s$ tem equação paramétrica: $$(x,y,z) = (-1,6,-4) + t(6,2,-3)$$ 6. **Passo 5: Encontrar o ponto $I$ de interseção da reta $s$ com o plano $\alpha$** Substituímos as coordenadas da reta na equação do plano $\alpha$: $$6(x) + 2(y) - 3(z) + 68 = 0$$ Substituindo: $$6(-1 + 6t) + 2(6 + 2t) - 3(-4 - 3t) + 68 = 0$$ Expandindo: $$6(-1) + 36t + 12 + 4t + 12 + 9t + 68 = 0$$ $$-6 + 36t + 12 + 4t + 12 + 9t + 68 = 0$$ Somando termos constantes: $$(-6 + 12 + 12 + 68) + (36t + 4t + 9t) = 0$$ $$86 + 49t = 0$$ Isolando $t$: $$49t = -86 \Rightarrow t = -\frac{86}{49}$$ 7. **Passo 6: Calcular as coordenadas de $I$** $$x_I = -1 + 6 \cdot \left(-\frac{86}{49}\right) = -1 - \frac{516}{49} = -\frac{49}{49} - \frac{516}{49} = -\frac{565}{49}$$ $$y_I = 6 + 2 \cdot \left(-\frac{86}{49}\right) = 6 - \frac{172}{49} = \frac{294}{49} - \frac{172}{49} = \frac{122}{49}$$ $$z_I = -4 - 3 \cdot \left(-\frac{86}{49}\right) = -4 + \frac{258}{49} = -\frac{196}{49} + \frac{258}{49} = \frac{62}{49}$$ 8. **Passo 7: Calcular a distância entre $A$ e $I$** A distância entre dois pontos $P_1(x_1,y_1,z_1)$ e $P_2(x_2,y_2,z_2)$ é: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$ Calculando: $$d = \sqrt{\left(-\frac{565}{49} + 1\right)^2 + \left(\frac{122}{49} - 6\right)^2 + \left(\frac{62}{49} + 4\right)^2}$$ Convertendo 1, 6 e 4 para frações com denominador 49: $$1 = \frac{49}{49}, \quad 6 = \frac{294}{49}, \quad 4 = \frac{196}{49}$$ Substituindo: $$d = \sqrt{\left(-\frac{565}{49} + \frac{49}{49}\right)^2 + \left(\frac{122}{49} - \frac{294}{49}\right)^2 + \left(\frac{62}{49} + \frac{196}{49}\right)^2}$$ $$= \sqrt{\left(-\frac{516}{49}\right)^2 + \left(-\frac{172}{49}\right)^2 + \left(\frac{258}{49}\right)^2}$$ $$= \sqrt{\frac{516^2}{49^2} + \frac{172^2}{49^2} + \frac{258^2}{49^2}} = \sqrt{\frac{516^2 + 172^2 + 258^2}{49^2}}$$ Calculando os quadrados: $$516^2 = 266256, \quad 172^2 = 29584, \quad 258^2 = 66564$$ Somando: $$266256 + 29584 + 66564 = 362404$$ Logo: $$d = \sqrt{\frac{362404}{2401}} = \frac{\sqrt{362404}}{49}$$ A raiz quadrada de 362404 é 602 (pois $602^2 = 362404$), então: $$d = \frac{602}{49}$$ **Resposta final:** 7.1. A equação do plano perpendicular à reta $r$ que passa pelo ponto médio de $[AB]$ é: $$2x - 5y - 3z + 8 = 0$$ 7.2. A distância do ponto $A$ ao ponto $I$ é: $$\frac{602}{49}$$