1. **Enunciado do problema:** Determinar os planos para os seguintes casos: (a) Plano que contém o ponto $P=(3,2,1)$ e a reta $r: (1,0,1) + h(1,3,1)$; (b) Plano que contém a reta $r: (1,0,1) + h(1,3,1)$ e a reta definida pelo sistema $\begin{cases} 3x - y = 0 \\ x - z = 1 \end{cases}$; (c) Plano que contém as retas $r: (1,0,1) + h(1,3,1)$ e $s: (3,2,3) + h(1,-1,1)$. 2. **Fórmulas e regras importantes:** - Um plano pode ser definido por um ponto $P_0$ e um vetor normal $\vec{n}$: $$ \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_0}) = 0 $$ - Para encontrar o vetor normal, podemos usar o produto vetorial de dois vetores diretores do plano. - Vetor diretor da reta $r$ é $\vec{d_r} = (1,3,1)$. --- ### (a) Plano que contém o ponto $P=(3,2,1)$ e a reta $r$: 3. O plano contém o ponto $P$ e a reta $r$, logo contém o ponto $A=(1,0,1)$ da reta e o vetor diretor $\vec{d_r}=(1,3,1)$. 4. Vetores no plano: - $\vec{PA} = (1-3,0-2,1-1) = (-2,-2,0)$ - $\vec{d_r} = (1,3,1)$ 5. O vetor normal $\vec{n}$ é o produto vetorial: $$\vec{n} = \vec{PA} \times \vec{d_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -2 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (-2)(1) - (0)(3) \mathbf{i} - \left((-2)(1) - (0)(1)\right) \mathbf{j} + \left((-2)(3) - (-2)(1)\right) \mathbf{k}$$ 6. Calculando cada componente: - $n_x = (-2)(1) - (0)(3) = -2$ - $n_y = -((-2)(1) - (0)(1)) = -(-2) = 2$ - $n_z = (-2)(3) - (-2)(1) = -6 + 2 = -4$ 7. Vetor normal: $$\vec{n} = (-2, 2, -4)$$ 8. Equação do plano usando o ponto $P=(3,2,1)$: $$-2(x-3) + 2(y-2) -4(z-1) = 0$$ 9. Expandindo: $$-2x + 6 + 2y - 4 - 4z + 4 = 0$$ $$-2x + 2y - 4z + 6 = 0$$ 10. Simplificando dividindo por 2: $$\cancel{2}(-x + y - 2z + 3) = 0 \Rightarrow -x + y - 2z + 3 = 0$$ 11. Equação final do plano: $$x - y + 2z = 3$$ --- ### (b) Plano que contém a reta $r$ e a reta definida pelo sistema: 12. A reta $r$ tem vetor diretor $\vec{d_r} = (1,3,1)$ e ponto $A=(1,0,1)$. 13. Para a reta do sistema: $$\begin{cases} 3x - y = 0 \\ x - z = 1 \end{cases}$$ 14. Expressando em forma paramétrica: - Da segunda equação: $z = x - 1$ - Da primeira: $y = 3x$ 15. Parametrizando com $x = t$: $$\vec{r_2}(t) = (t, 3t, t-1)$$ 16. Vetor diretor da segunda reta: $$\vec{d_s} = (1, 3, 1)$$ 17. Note que $\vec{d_s} = \vec{d_r}$, as retas são paralelas. 18. Para definir o plano, precisamos de um ponto de cada reta: - $A=(1,0,1)$ da reta $r$ - Para $t=0$, ponto da segunda reta: $B=(0,0,-1)$ 19. Vetor $\vec{AB} = (0-1, 0-0, -1-1) = (-1, 0, -2)$ 20. Vetor normal do plano: $$\vec{n} = \vec{d_r} \times \vec{AB} = (1,3,1) \times (-1,0,-2)$$ 21. Calculando o produto vetorial: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = (3 \cdot -2 - 1 \cdot 0) \mathbf{i} - (1 \cdot -2 - 1 \cdot -1) \mathbf{j} + (1 \cdot 0 - 3 \cdot -1) \mathbf{k}$$ 22. Componentes: - $n_x = -6$ - $n_y = -(-2 + 1) = -(-1) = 1$ - $n_z = 0 + 3 = 3$ 23. Vetor normal: $$\vec{n} = (-6, 1, 3)$$ 24. Equação do plano usando ponto $A=(1,0,1)$: $$-6(x-1) + 1(y-0) + 3(z-1) = 0$$ 25. Expandindo: $$-6x + 6 + y + 3z - 3 = 0$$ $$-6x + y + 3z + 3 = 0$$ 26. Equação final do plano: $$-6x + y + 3z = -3$$ --- ### (c) Plano que contém as retas $r$ e $s$: 27. Vetores diretores: - $\vec{d_r} = (1,3,1)$ - $\vec{d_s} = (1,-1,1)$ 28. Pontos nas retas: - $A=(1,0,1)$ na reta $r$ - $B=(3,2,3)$ na reta $s$ 29. Vetor $\vec{AB} = (3-1, 2-0, 3-1) = (2,2,2)$ 30. Vetor normal do plano: $$\vec{n} = \vec{d_r} \times \vec{d_s} = (1,3,1) \times (1,-1,1)$$ 31. Calculando o produto vetorial: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (3 \cdot 1 - 1 \cdot -1) \mathbf{i} - (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) \mathbf{j} + (1 \cdot -1 - 3 \cdot 1) \mathbf{k}$$ 32. Componentes: - $n_x = 3 + 1 = 4$ - $n_y = -(1 - 1) = 0$ - $n_z = -1 - 3 = -4$ 33. Vetor normal: $$\vec{n} = (4, 0, -4)$$ 34. Equação do plano usando ponto $A=(1,0,1)$: $$4(x-1) + 0(y-0) -4(z-1) = 0$$ 35. Expandindo: $$4x - 4 - 4z + 4 = 0$$ $$4x - 4z = 0$$ 36. Simplificando dividindo por 4: $$\cancel{4}(x - z) = 0 \Rightarrow x - z = 0$$ 37. Equação final do plano: $$x = z$$ --- **Respostas finais:** (a) $x - y + 2z = 3$ (b) $-6x + y + 3z = -3$ (c) $x = z$