1. **Enunciado do problema:** Dado um plano oblíquo $\alpha$ e um ponto $P(0,4,5)$, os traços do plano $\alpha$ fazem ângulos de $30^\circ$ (ângulo em elevação) e $45^\circ$ (ângulo em elevação) com o eixo $x$, respectivamente o traço horizontal e o traço frontal, e são concorrentes num ponto com abscissa $-3$. Determinar as projeções de uma reta $r$, paralela ao plano $\alpha$, que contém o ponto $P$ e cuja projeção horizontal faz um ângulo de $45^\circ$ (ângulo diedro) com o eixo $x$. 2. **Fórmulas e regras importantes:** - A reta $r$ é paralela ao plano $\alpha$, logo seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano. - Os traços do plano definem a orientação do plano e permitem determinar seu vetor normal. - A projeção horizontal da reta $r$ faz um ângulo de $45^\circ$ com o eixo $x$, então o vetor diretor da projeção horizontal tem direção $\cos 45^\circ, \sin 45^\circ$. 3. **Determinar o vetor normal do plano $\alpha$:** - O traço horizontal faz ângulo de $30^\circ$ com o eixo $x$. - O traço frontal faz ângulo de $45^\circ$ com o eixo $x$. - O ponto de concorrência dos traços tem abscissa $-3$. 4. **Vetores diretores dos traços:** - Traço horizontal: vetor diretor $\vec{t_h} = (\cos 30^\circ, \sin 30^\circ, 0) = (\sqrt{3}/2, 1/2, 0)$. - Traço frontal: vetor diretor $\vec{t_f} = (\cos 45^\circ, 0, \sin 45^\circ) = (\sqrt{2}/2, 0, \sqrt{2}/2)$. 5. **Vetor normal do plano $\alpha$ é o produto vetorial:** $$\vec{n} = \vec{t_h} \times \vec{t_f} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \sqrt{3}/2 & 1/2 & 0 \\ \sqrt{2}/2 & 0 & \sqrt{2}/2 \end{vmatrix}$$ Calculando o determinante: $$\vec{n} = \mathbf{i} \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 \cdot 0\right) - \mathbf{j} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \mathbf{k} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$= \mathbf{i} \frac{\sqrt{2}}{4} - \mathbf{j} \frac{\sqrt{6}}{4} - \mathbf{k} \frac{\sqrt{2}}{4}$$ 6. **Simplificando o vetor normal:** $$\vec{n} = \left(\frac{\sqrt{2}}{4}, -\frac{\sqrt{6}}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$$ 7. **Vetor diretor da reta $r$:** - Seja $\vec{d} = (d_x, d_y, d_z)$. - Como $r$ é paralela ao plano $\alpha$, $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$. - A projeção horizontal de $r$ faz ângulo de $45^\circ$ com o eixo $x$, então a projeção horizontal do vetor diretor é: $$\vec{d_h} = (\cos 45^\circ, \sin 45^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ Logo, $d_x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $d_y = \frac{\sqrt{2}}{2}$. 8. **Encontrar $d_z$ usando a ortogonalidade:** $$\vec{d} \cdot \vec{n} = d_x n_x + d_y n_y + d_z n_z = 0$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}\right) + d_z \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = 0$$ Calculando os termos: $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{6}}{4}\right) = -\frac{\sqrt{12}}{8} = -\frac{2\sqrt{3}}{8} = -\frac{\sqrt{3}}{4}$$ Substituindo: $$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} d_z = 0$$ Isolando $d_z$: $$- \frac{\sqrt{2}}{4} d_z = -\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}$$ $$d_z = \frac{\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$ 9. **Vetor diretor final da reta $r$:** $$\vec{d} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)$$ 10. **Equações paramétricas da reta $r$ passando por $P(0,4,5)$:** $$x = 0 + t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$y = 4 + t \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$z = 5 + t \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$ 11. **Projeções da reta $r$:** - Projeção horizontal (plano $xy$): $$x = t \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y = 4 + t \frac{\sqrt{2}}{2}$$ - Projeção frontal (plano $xz$): $$x = t \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad z = 5 + t \frac{1 - \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$ **Resposta final:** As projeções da reta $r$ são dadas pelas equações paramétricas acima, com vetor diretor paralelo ao plano $\alpha$ e passando pelo ponto $P$.