1. Plantegem el problema: Cal trobar la recta que passa pel punt $A(1,-3)$ i que forma un angle de $30^\circ$ amb la recta donada $x + \sqrt{3}y = 2$. 2. Trobar la pendent de la recta donada: Reescrivim la recta en forma pendent-intersecció $y = mx + b$. $$x + \sqrt{3}y = 2 \implies \sqrt{3}y = 2 - x \implies y = \frac{2 - x}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{2}{\sqrt{3}}$$ Així, la pendent de la recta donada és $m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. 3. Fórmula per l'angle entre dues rectes: Si $m_1$ i $m_2$ són les pendents de dues rectes, l'angle $\theta$ entre elles satisfà $$\tan(\theta) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$$ 4. Sabem que $\theta = 30^\circ$ i $m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Volem trobar $m_2$. $$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m_2 - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + (-\frac{1}{\sqrt{3}}) m_2} \right| = \left| \frac{m_2 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{m_2}{\sqrt{3}}} \right|$$ 5. Resolem l'equació: $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{m_2 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{m_2}{\sqrt{3}}} \right|$$ Considerem els dos casos: Cas 1: $$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{m_2 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{m_2}{\sqrt{3}}}$$ Multipliquem creuat: $$1 - \frac{m_2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \left(m_2 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \sqrt{3} m_2 + 1$$ Simplifiquem: $$1 - \frac{m_2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} m_2 + 1 \implies - \frac{m_2}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} m_2 \implies -m_2 = 3 m_2 \implies -m_2 - 3 m_2 = 0 \implies -4 m_2 = 0 \implies m_2 = 0$$ Cas 2: $$\frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{m_2 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{m_2}{\sqrt{3}}}$$ Multipliquem creuat: $$1 - \frac{m_2}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} \left(m_2 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\sqrt{3} m_2 - 1$$ Simplifiquem: $$1 - \frac{m_2}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} m_2 - 1 \implies 1 + 1 = -\sqrt{3} m_2 + \frac{m_2}{\sqrt{3}} \implies 2 = m_2 \left(-\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$ Simplifiquem el factor: $$-\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$$ Per tant: $$2 = m_2 \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \implies m_2 = \frac{2}{-\frac{2}{\sqrt{3}}} = -\sqrt{3}$$ 6. Les dues possibles pendents per la recta buscada són $m_2 = 0$ i $m_2 = -\sqrt{3}$. 7. Trobar les equacions de les rectes que passen per $A(1,-3)$ amb aquestes pendents: Per $m_2 = 0$ (recta horitzontal): $$y - (-3) = 0(x - 1) \implies y = -3$$ Per $m_2 = -\sqrt{3}$: $$y - (-3) = -\sqrt{3}(x - 1) \implies y + 3 = -\sqrt{3}x + \sqrt{3} \implies y = -\sqrt{3}x + \sqrt{3} - 3$$ Reescrivim en forma general: $$\sqrt{3}x + y + (3 - \sqrt{3}) = 0$$ 8. Resumint, les dues rectes que compleixen les condicions són: $$y = -3$$ $$\sqrt{3}x + y + (3 - \sqrt{3}) = 0$$