1. **Plantejament del problema:** Cal trobar l'equació de la recta $s$ que és perpendicular al pla $\pi$ i que talla la recta $r$ en un punt $P$ tal que la primera coordenada de $P$ és 5 vegades la segona. 2. **Dades donades:** - Recta $r$: $$x=2+\lambda,\quad y=-1+3\lambda,\quad z=3+\lambda$$ - Pla $\pi$: $$x - 2y + 4z - 4 = 0$$ - Punt $P=(x_P,y_P,z_P)$ sobre $r$ amb $x_P = 5 y_P$ 3. **Trobar el punt $P$ sobre $r$ que compleix $x_P=5 y_P$:** Substituïm les coordenades de $r$: $$x_P = 2 + \lambda$$ $$y_P = -1 + 3\lambda$$ Condició: $$2 + \lambda = 5(-1 + 3\lambda)$$ $$2 + \lambda = -5 + 15\lambda$$ $$2 + 5 = 15\lambda - \lambda$$ $$7 = 14\lambda$$ $$\lambda = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$$ 4. **Calcular les coordenades de $P$ substituint $\lambda=\frac{1}{2}$:** $$x_P = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$ $$y_P = -1 + 3 \times \frac{1}{2} = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$$ $$z_P = 3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$$ 5. **Trobar la direcció de la recta $s$ perpendicular al pla $\pi$:** El vector normal al pla $\pi$ és: $$\vec{n} = (1, -2, 4)$$ La recta $s$ és perpendicular al pla, per tant la seva direcció és $\vec{n}$. 6. **Equació de la recta $s$ que passa per $P$ i té direcció $\vec{n}$:** $$x = x_P + t \cdot 1 = \frac{5}{2} + t$$ $$y = y_P + t \cdot (-2) = \frac{1}{2} - 2t$$ $$z = z_P + t \cdot 4 = \frac{7}{2} + 4t$$ **Resposta final:** $$s: \begin{cases} x = \frac{5}{2} + t \\ y = \frac{1}{2} - 2t \\ z = \frac{7}{2} + 4t \end{cases}$$