1. **Enunciado do problema:** Temos uma circunferência com centro $C(-4,0)$ e uma reta $t$ dada por $y = -5x + 6$, que é tangente à circunferência no ponto $T$. Queremos: 3.1. Mostrar que $T = (1,1)$. 3.2. Encontrar a equação da reta $CT$. 3.3. Escrever a equação vetorial da reta $t'$, paralela a $t$ e tangente à circunferência. 3.4. Apresentar uma condição para os pontos do 1.º quadrante que pertencem à região limitada pela circunferência e pela reta $t$, incluindo a fronteira. 2. **Mostrar que $T = (1,1)$:** Sabemos que $T$ está na reta $t$, então substituímos $x=1$ em $y = -5x + 6$: $$y = -5(1) + 6 = -5 + 6 = 1$$ Logo, $T = (1,1)$ está na reta $t$. Além disso, $T$ é ponto de tangência, então a distância do centro $C(-4,0)$ até $T$ é o raio $r$ da circunferência. Calculamos o raio: $$r = \sqrt{(1 - (-4))^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$$ Assim, a circunferência tem raio $r = \sqrt{26}$ e passa por $T$, confirmando que $T$ está na circunferência e na reta $t$. 3. **Equação da reta $CT$:** O vetor diretor da reta $CT$ é dado por: $$\overrightarrow{CT} = (1 - (-4), 1 - 0) = (5, 1)$$ A equação reduzida da reta que passa por $C(-4,0)$ com vetor diretor $(5,1)$ é: $$y - 0 = \frac{1}{5}(x - (-4))$$ $$y = \frac{1}{5}(x + 4)$$ 4. **Equação vetorial da reta $t'$ paralela a $t$ e tangente à circunferência:** A reta $t$ tem coeficiente angular $m = -5$, então $t'$ também tem $m = -5$. A equação geral de $t'$ é: $$y = -5x + b$$ Para que $t'$ seja tangente à circunferência de centro $C(-4,0)$ e raio $r = \sqrt{26}$, a distância do centro à reta deve ser igual a $r$. A distância do ponto $C(x_0,y_0)$ à reta $Ax + By + C = 0$ é: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Reescrevendo $y = -5x + b$ em forma geral: $$5x + y - b = 0$$ Calculamos a distância: $$d = \frac{|5(-4) + 1(0) - b|}{\sqrt{5^2 + 1^2}} = \frac{| -20 - b|}{\sqrt{26}}$$ Igualando à $r = \sqrt{26}$: $$\frac{| -20 - b|}{\sqrt{26}} = \sqrt{26}$$ Multiplicando ambos os lados por $\sqrt{26}$: $$| -20 - b| = 26$$ Temos duas soluções: $$-20 - b = 26 \Rightarrow b = -46$$ ou $$-20 - b = -26 \Rightarrow b = 6$$ Como $b=6$ corresponde à reta $t$ original, a outra reta tangente paralela é: $$y = -5x - 46$$ A equação vetorial da reta $t'$ pode ser escrita como: $$\vec{r} = \vec{r_0} + \lambda \vec{v}$$ onde $\vec{v} = (1, -5)$ (vetor diretor) e $\vec{r_0}$ é um ponto qualquer da reta $t'$. Por exemplo, para $x=0$, $y = -46$, então: $$\vec{r} = (0, -46) + \lambda (1, -5)$$ 5. **Condição para os pontos do 1.º quadrante na região limitada pela circunferência e reta $t$ (incluindo fronteira):** - A circunferência é dada por: $$ (x + 4)^2 + y^2 \leq 26 $$ - A reta $t$ é: $$ y \leq -5x + 6 $$ - O 1.º quadrante é definido por: $$ x \geq 0, \quad y \geq 0 $$ Portanto, a condição que caracteriza os pontos do 1.º quadrante na região limitada é: $$ x \geq 0, \quad y \geq 0, \quad (x + 4)^2 + y^2 \leq 26, \quad y \leq -5x + 6 $$