1. **Problema:** Determine analiticamente o valor da constante $k$ para que o ponto $A(k - 1, -3k - 1)$ seja o simétrico em relação à origem $O$ do ponto $(3, -5)$. 2. **Fórmula e regra:** O simétrico de um ponto $(x, y)$ em relação à origem é $(-x, -y)$. 3. **Aplicação:** O ponto simétrico de $(3, -5)$ é $$(-3, 5).$$ 4. **Igualação das coordenadas:** Como $A(k - 1, -3k - 1)$ deve ser igual a $(-3, 5)$, temos o sistema: $$\begin{cases} k - 1 = -3 \\ -3k - 1 = 5 \end{cases}$$ 5. **Resolvendo a primeira equação:** $$k - 1 = -3$$ $$k = -3 + 1$$ $$k = -2$$ 6. **Verificando na segunda equação:** $$-3k - 1 = 5$$ Substituindo $k = -2$: $$-3(-2) - 1 = 5$$ $$6 - 1 = 5$$ $$5 = 5$$ (verdadeiro) 7. **Conclusão:** O valor de $k$ que satisfaz a condição é $$\boxed{-2}.$$