1. **Enunciado do problema:** Calcular propriedades do sólido $H$ definido pela região limitada pela esfera $$x^2 + y^2 + z^2 = 2z$$ e pelo cone $$z^2 = x^2 + y^2$$. 2. **Reescrevendo as superfícies:** - A esfera pode ser reescrita completando o quadrado em $z$: $$x^2 + y^2 + z^2 = 2z \implies x^2 + y^2 + z^2 - 2z = 0$$ $$x^2 + y^2 + (z^2 - 2z + 1) = 1 \implies x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1$$ Portanto, é uma esfera de centro $(0,0,1)$ e raio $1$. - O cone é dado por: $$z^2 = x^2 + y^2$$ 3. **Interpretação geométrica:** O sólido $H$ é a região dentro da esfera e acima do cone (ou seja, onde o cone está dentro da esfera). 4. **Mudança para coordenadas cilíndricas:** Definimos: $$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z$$ As superfícies ficam: - Esfera: $$r^2 + (z - 1)^2 = 1$$ - Cone: $$z^2 = r^2 \implies z = r \text{ (considerando } z \geq 0)$$ 5. **Limites para $z$:** Para um dado $r$, $z$ varia entre o cone e a esfera: $$z_{cone} = r$$ $$z_{esfera} = 1 - \sqrt{1 - r^2}$$ Mas note que a esfera é: $$r^2 + (z - 1)^2 = 1 \implies (z - 1)^2 = 1 - r^2 \implies z = 1 \pm \sqrt{1 - r^2}$$ Como queremos a parte inferior da esfera (abaixo do centro), usamos: $$z = 1 - \sqrt{1 - r^2}$$ 6. **Determinar o intervalo de $r$ onde o sólido existe:** O sólido está entre o cone e a esfera, então: $$r \leq z \leq 1 - \sqrt{1 - r^2}$$ Para que isso faça sentido, precisamos que: $$r \leq 1 - \sqrt{1 - r^2}$$ Resolvendo: $$1 - \sqrt{1 - r^2} \geq r$$ $$\sqrt{1 - r^2} \leq 1 - r$$ Elevando ao quadrado: $$1 - r^2 \leq (1 - r)^2 = 1 - 2r + r^2$$ $$1 - r^2 \leq 1 - 2r + r^2$$ $$-r^2 \leq -2r + r^2$$ $$0 \leq -2r + 2r^2$$ $$0 \leq 2r^2 - 2r$$ $$0 \leq r( r - 1)$$ Como $r \geq 0$, isso implica $r \geq 1$. Mas $r$ não pode ser maior que 1 porque $\sqrt{1 - r^2}$ deve ser real. Portanto, o único valor possível é $r=1$. 7. **Conclusão:** O sólido $H$ é a região onde $r$ varia de 0 a 1, $\theta$ de 0 a $2\pi$, e $z$ varia entre o cone e a esfera: $$z \in [r, 1 - \sqrt{1 - r^2}]$$ 8. **Função densidade:** Não foi pedido cálculo de massa ou volume, apenas a descrição do sólido. **Resposta final:** O sólido $H$ está delimitado pela esfera $$x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 1$$ e pelo cone $$z^2 = x^2 + y^2$$, com $z \geq 0$, e pode ser descrito em coordenadas cilíndricas por: $$0 \leq r \leq 1, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad r \leq z \leq 1 - \sqrt{1 - r^2}.$$