1. **Problema:** Calcular a área do triângulo [ABC] com vértices A(1,2), B(4,4) e C(6,2). 2. **Fórmula da área do triângulo pelo determinante:** $$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right|$$ 3. **Substituindo os valores:** $$= \frac{1}{2} |1(4 - 2) + 4(2 - 2) + 6(2 - 4)|$$ $$= \frac{1}{2} |1 \times 2 + 4 \times 0 + 6 \times (-2)|$$ $$= \frac{1}{2} |2 + 0 - 12| = \frac{1}{2} |-10| = 5$$ 4. **Resposta:** A área do triângulo [ABC] é 5 unidades quadradas. --- 1. **Problema:** Determinar o comprimento do segmento AB. 2. **Fórmula da distância entre dois pontos:** $$d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$ 3. **Substituindo os valores:** $$= \sqrt{(4 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$ 4. **Resposta:** O comprimento AB é $\sqrt{13}$ unidades. --- 1. **Problema:** Determinar a equação reduzida da reta BC. 2. **Fórmula do coeficiente angular (inclinação):** $$m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}$$ 3. **Calculando $m$:** $$m = \frac{2 - 4}{6 - 4} = \frac{-2}{2} = -1$$ 4. **Equação da reta na forma reduzida:** $$y - y_B = m(x - x_B)$$ $$y - 4 = -1(x - 4)$$ $$y - 4 = -x + 4$$ $$y = -x + 8$$ 5. **Resposta:** A equação reduzida da reta BC é $y = -x + 8$. --- 1. **Problema:** Determinar a equação reduzida da reta $r$, paralela a BC e que contém A. 2. **Como $r$ é paralela a BC, seu coeficiente angular é o mesmo:** $$m_r = -1$$ 3. **Usando o ponto A(1,2) na equação da reta:** $$y - 2 = -1(x - 1)$$ $$y - 2 = -x + 1$$ $$y = -x + 3$$ 4. **Resposta:** A equação reduzida da reta $r$ é $y = -x + 3$. --- **Resumo final:** - Área do triângulo [ABC] = 5 - Comprimento AB = $\sqrt{13}$ - Equação da reta BC: $y = -x + 8$ - Equação da reta $r$ paralela a BC passando por A: $y = -x + 3$