1. **Problema:** Dado os pontos C(-2,-1,2), D(0,-1,2) e E(-2,-1,3), determine se eles formam um triângulo isósceles. 2. **Passo 1: Calcular as distâncias entre os pontos para verificar os lados do triângulo.** A fórmula da distância entre dois pontos no espaço 3D é: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$ 3. **Calcular distância CD:** $$CD = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (-1 - (-1))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 0 + 0} = \sqrt{4} = 2$$ 4. **Calcular distância CE:** $$CE = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-1 - (-1))^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{0 + 0 + 1^2} = 1$$ 5. **Calcular distância DE:** $$DE = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (-1 - (-1))^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$$ 6. **Verificar se dois lados são iguais para triângulo isósceles:** Os lados são $2$, $1$ e $\sqrt{5} \approx 2.236$. Nenhum par de lados é igual, portanto, **não formam um triângulo isósceles**. 7. **b) Encontrar a equação da reta que contém dois dos pontos.** Escolhemos os pontos C e D para encontrar a reta. 8. **Vetor diretor da reta CD:** $$\vec{v} = D - C = (0 - (-2), -1 - (-1), 2 - 2) = (2, 0, 0)$$ 9. **Equação paramétrica da reta:** $$x = -2 + 2t$$ $$y = -1 + 0t = -1$$ $$z = 2 + 0t = 2$$ 10. **Equação vetorial:** $$\vec{r} = (-2, -1, 2) + t(2, 0, 0)$$ 11. **c) Verificar se a origem (0,0,0) pertence ao plano que contém os pontos.** Primeiro, encontrar o vetor normal ao plano formado pelos pontos C, D e E. 12. **Vetores no plano:** $$\vec{CD} = (2, 0, 0)$$ $$\vec{CE} = (0, 0, 1)$$ 13. **Produto vetorial para vetor normal:** $$\vec{n} = \vec{CD} \times \vec{CE} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{i} - (2 \cdot 1 - 0 \cdot 0)\mathbf{j} + (2 \cdot 0 - 0 \cdot 0)\mathbf{k} = (0, -2, 0)$$ 14. **Equação do plano:** Usando o ponto C(-2,-1,2) e vetor normal $\vec{n} = (0,-2,0)$: $$0(x + 2) - 2(y + 1) + 0(z - 2) = 0$$ $$-2(y + 1) = 0$$ $$y + 1 = 0$$ 15. **Verificar se a origem (0,0,0) satisfaz a equação:** $$0 + 1 = 1 \neq 0$$ Portanto, a origem **não pertence ao plano**. **Resposta final:** a) Não formam triângulo isósceles. b) Equação da reta CD: $x = -2 + 2t$, $y = -1$, $z = 2$. c) A origem não pertence ao plano formado pelos pontos.