1. **Problema 27.1:** Dados os vetores u = (2, -1) e v = (-4, 2) e pontos A, B, C (não dados explicitamente, mas assumidos para operações vetoriais). Vamos determinar as coordenadas pedidas. 2. Para calcular um vetor entre dois pontos, usamos a fórmula: $$\overrightarrow{XY} = (x_Y - x_X, y_Y - y_X)$$ 3. a) Para $$\overrightarrow{AB}$$, sem coordenadas explícitas de A e B, assumimos que A e B são pontos dados ou que a questão quer o vetor u ou v. Como não há dados, vamos assumir que A e B são pontos genéricos e que a questão quer o vetor $$\overrightarrow{AB} = u = (2, -1)$$. 4. b) $$\overrightarrow{CB}$$: Sem coordenadas de C e B, não é possível calcular diretamente. Se C e B forem pontos genéricos, não há dados suficientes. 5. c) $$u + \overrightarrow{AC}$$: Sem $$\overrightarrow{AC}$$, não podemos somar. Assumindo $$\overrightarrow{AC} = v = (-4, 2)$$, então: $$u + \overrightarrow{AC} = (2, -1) + (-4, 2) = (2 - 4, -1 + 2) = (-2, 1)$$ 6. d) $$\frac{1}{2}v - 2\overrightarrow{BC}$$: Sem $$\overrightarrow{BC}$$, não podemos calcular. Assumindo $$\overrightarrow{BC} = u = (2, -1)$$: $$\frac{1}{2}v = \frac{1}{2}(-4, 2) = (-2, 1)$$ $$2\overrightarrow{BC} = 2(2, -1) = (4, -2)$$ $$\frac{1}{2}v - 2\overrightarrow{BC} = (-2, 1) - (4, -2) = (-2 - 4, 1 + 2) = (-6, 3)$$ 7. **Problema 27.2:** Determinar as coordenadas: a) $$A + u$$: Sem coordenadas de A, não é possível calcular. b) $$B - v$$: Sem coordenadas de B, não é possível calcular. c) $$C + u$$: Sem coordenadas de C, não é possível calcular. 8. **Problema 28:** Dados A(4, -6), B(-3, -1), u(-2, 5). 9. 28.1 a) $$AP = u$$ implica $$P = A + u = (4, -6) + (-2, 5) = (4 - 2, -6 + 5) = (2, -1)$$ 10. b) $$AP = OB$$. O vetor $$OB$$ é o vetor do ponto O(0,0) até B(-3, -1), ou seja, $$OB = (-3, -1)$$. Então $$P = A + OB = (4, -6) + (-3, -1) = (1, -7)$$ 11. c) $$AB = u + OP$$. O vetor $$AB = B - A = (-3 - 4, -1 + 6) = (-7, 5)$$. Logo: $$OP = AB - u = (-7, 5) - (-2, 5) = (-7 + 2, 5 - 5) = (-5, 0)$$ Como $$OP$$ é o vetor do ponto O até P, então $$P = (-5, 0)$$. 12. 28.2: Ponto C no eixo Oy (x=0), tal que $$\frac{1}{2}AC = u$$. O vetor $$AC = 2u = 2(-2, 5) = (-4, 10)$$. Como $$A = (4, -6)$$, então: $$C = A + AC = (4, -6) + (-4, 10) = (0, 4)$$ 13. **Problema 29:** Prisma triangular com pontos A(4,0,0), B(2,4,1), E(4,0,5), vetor AF(-2,4,6). 14. 29.1 a) $$\overrightarrow{BE} = E - B = (4 - 2, 0 - 4, 5 - 1) = (2, -4, 4)$$ b) $$\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 4, 4 - 0, 1 - 0) = (-2, 4, 1)$$ 15. 29.2: Determinar F sabendo $$AF = (-2, 4, 6)$$ e $$A = (4, 0, 0)$$. Então: $$F = A + AF = (4, 0, 0) + (-2, 4, 6) = (2, 4, 6)$$ **Resposta final:** 27.1 a) $$\overrightarrow{AB} = (2, -1)$$ (assumido u) 27.1 c) $$u + \overrightarrow{AC} = (-2, 1)$$ (assumindo $$\overrightarrow{AC} = v$$) 27.1 d) $$\frac{1}{2}v - 2\overrightarrow{BC} = (-6, 3)$$ (assumindo $$\overrightarrow{BC} = u$$) 28.1 a) $$P = (2, -1)$$ 28.1 b) $$P = (1, -7)$$ 28.1 c) $$P = (-5, 0)$$ 28.2 $$C = (0, 4)$$ 29.1 a) $$\overrightarrow{BE} = (2, -4, 4)$$ 29.1 b) $$\overrightarrow{AB} = (-2, 4, 1)$$ 29.2 $$F = (2, 4, 6)$$