1. **Đề bài:** Cho tam giác nhọn ABC với AB < AC. M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho AB = BE. 2. **Phân tích và ký hiệu:** - M là trung điểm BC nên BM = MC. - E nằm trên tia đối của MA sao cho AB = BE. - Trên tia đối của AB lấy F sao cho AF = EC. 3. **Chứng minh a) BD vuông góc với FC:** - Vì M là trung điểm BC nên BM = MC. - Xét tam giác ABM và tam giác EBM: + AB = BE (giả thiết) + BM chung + AM = AM (đối xứng) => Tam giác ABM bằng tam giác EBM theo cạnh - cạnh - cạnh. - Do đó, góc ABM = góc EBM. - Vì F nằm trên tia đối của AB sao cho AF = EC, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng và trung điểm để chứng minh BD vuông góc FC. - Cụ thể, xét các vectơ: + Vectơ BD vuông góc với vectơ FC nếu tích vô hướng của chúng bằng 0. - Ta có thể biểu diễn các vectơ và tính tích vô hướng để chứng minh BD \perp FC. 4. **Chứng minh b) AE song song với FC:** - Xét các vectơ AE và FC. - Nếu AE và FC tỉ lệ với nhau (cùng hướng hoặc ngược hướng), thì AE // FC. - Sử dụng các điều kiện đã cho và tính chất trung điểm, ta chứng minh được vectơ AE = k vectơ FC với k > 0. **Kết luận:** - a) BD vuông góc với FC. - b) AE song song với FC.