1. **Problem:** Gegeben ist die Parameterform einer Ebene $E$. Finde die Koordinatengleichung (kartesische Gleichung) der Ebene. 2. **Formel und Regeln:** Die Parameterform einer Ebene lautet: $$\vec{x} = \vec{p} + r\vec{u} + s\vec{v}$$ Dabei ist $\vec{p}$ ein Punkt auf der Ebene, $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind Richtungsvektoren. Um die Koordinatengleichung zu finden, benötigen wir einen Normalenvektor $\vec{n}$, der senkrecht auf $\vec{u}$ und $\vec{v}$ steht: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$$ Die Koordinatengleichung lautet dann: $$n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d$$ mit $$d = \vec{n} \cdot \vec{p}$$ 3. **Schritt-für-Schritt-Lösung:** - Gegeben: $$\vec{p} = \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix}, \quad \vec{u} = \begin{pmatrix}4 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}$$ - Berechne den Normalenvektor: $$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \begin{pmatrix}3 \cdot 3 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 - 4 \cdot 3 \\ 4 \cdot 0 - 3 \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 \\ -12 \\ -3\end{pmatrix}$$ - Vereinfache durch Division: $$\vec{n} = \begin{pmatrix}\cancel{9}/3 \\ \cancel{-12}/3 \\ \cancel{-3}/3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -4 \\ -1\end{pmatrix}$$ - Berechne $d$: $$d = \vec{n} \cdot \vec{p} = 3 \cdot 1 + (-4) \cdot (-1) + (-1) \cdot (-1) = 3 + 4 + 1 = 8$$ - Endgültige Koordinatengleichung: $$3x_1 - 4x_2 - x_3 = 8$$ **Antwort:** Die Koordinatengleichung der Ebene $E$ lautet $3x_1 - 4x_2 - x_3 = 8$.