1. **Problemstellung:** a) Finde eine Gleichung einer Geraden $h$, die die Gerade $g$ schneidet. Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix}$. 2. **Formel und Regeln:** Eine Gerade $h$ schneidet $g$, wenn es einen Punkt gibt, der auf beiden Geraden liegt. Die Geradengleichung hat die Form $\vec{x} = \vec{p} + \mu \cdot \vec{d}$, wobei $\vec{p}$ ein Punkt auf der Geraden und $\vec{d}$ der Richtungsvektor ist. 3. **Lösung Teil a):** Wähle für $h$ einen Punkt $\vec{p}_h$ und einen Richtungsvektor $\vec{d}_h$, so dass $h$ $g$ schneidet. Zum Beispiel: $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$. Prüfe Schnittpunkt: Setze $\vec{x}_g = \vec{x}_h$: $$\begin{pmatrix}1 + 2\lambda \\ -2 - 3\lambda \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ \mu \\ 0\end{pmatrix}$$ Daraus folgt: $$1 + 2\lambda = 1 \Rightarrow 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$$ $$-2 - 3\lambda = \mu \Rightarrow -2 = \mu$$ $$-1 = 0$$ Die letzte Gleichung ist falsch, also kein Schnittpunkt mit diesem $h$. Wähle stattdessen $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$. Setze $\vec{x}_g = \vec{x}_h$: $$\begin{pmatrix}1 + 2\lambda \\ -2 - 3\lambda \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ \mu\end{pmatrix}$$ Gleichungen: $$1 + 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$$ $$-2 - 3\lambda = 0 \Rightarrow -2 + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \neq 0$$ Kein Schnittpunkt. Wähle $h: \vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$. Setze $\vec{x}_g = \vec{x}_h$: $$\begin{pmatrix}1 + 2\lambda \\ -2 - 3\lambda \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ \mu\end{pmatrix}$$ Gleichungen: $$1 + 2\lambda = 1 \Rightarrow 2\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$$ $$-2 - 3\lambda = -2 \Rightarrow -2 = -2$$ $$-1 = \mu \Rightarrow \mu = -1$$ Alle Gleichungen sind erfüllt, also schneiden sich $g$ und $h$ im Punkt $\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}$. Somit ist eine mögliche Geradengleichung für $h$: $$h: \vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ 4. **Lösung Teil b):** Gesucht ist eine Ebene $E$, die die Gerade $g$ und die zu $g$ parallele Gerade $i: \vec{x} = \lambda \cdot \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix}$ enthält. Da $i$ parallel zu $g$ ist, haben beide den Richtungsvektor $\vec{d} = \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix}$. Um eine Ebene zu bestimmen, brauchen wir zwei Richtungsvektoren und einen Punkt. - Richtungsvektor 1: $\vec{d}_1 = \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix}$ (Richtung von $g$ und $i$) - Richtungsvektor 2: Wähle den Verbindungsvektor zwischen einem Punkt auf $g$ und einem Punkt auf $i$. Punkt auf $g$: $\vec{p}_g = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}$ Punkt auf $i$: $\vec{p}_i = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$ (für $\lambda=0$) Verbindungsvektor: $$\vec{d}_2 = \vec{p}_g - \vec{p}_i = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}$$ Die Ebenengleichung lautet: $$E: \vec{x} = \vec{p}_i + s \cdot \vec{d}_1 + t \cdot \vec{d}_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}$$ **Endergebnis:** - a) $$h: \vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$$ - b) $$E: \vec{x} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}2 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}$$