1. **Problem statement:** Gegeben sind zwei lineare Abbildungen $A : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ mit Matrizen $$A_a = \begin{pmatrix}4 & 2 & -2 \\ -5 & -2 & 5 \\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}, \quad A_b = \begin{pmatrix}4 & 3 & -6 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & -3\end{pmatrix}$$ Es soll jeweils eine Gleichung einer invarianten 2-dimensionalen Unterraums (Ebene) bestimmt werden. 2. **Wichtige Regel:** Ein 2-dimensionaler invarianten Unterraum entspricht dem Eigenraum zu einem Eigenwert mit algebraischer Vielfachheit 2 oder der direkten Summe von Eigenräumen, oder der Kern eines linearen Funktionals, das invariant bleibt. 3. **Vorgehen:** - Bestimme die Eigenwerte von $A$ durch Lösen von $\det(A - \lambda I) = 0$. - Finde den Eigenvektor zu einem Eigenwert mit Vielfachheit 1. - Die zugehörige 2-dimensionale Ebene ist dann der Kern des linearen Funktionals, das auf diesem Eigenvektor verschwindet. --- ### a) Matrix $A_a$ 4. **Eigenwerte bestimmen:** $$\det\left(\begin{pmatrix}4-\lambda & 2 & -2 \\ -5 & -2-\lambda & 5 \\ 2 & 1 & -\lambda\end{pmatrix}\right) = 0$$ 5. Berechnung des charakteristischen Polynoms: $$p(\lambda) = -\lambda^3 + 2\lambda^2 + 7\lambda - 8 = 0$$ 6. Durch Probieren findet man $\lambda = 1$ als Nullstelle: $$p(1) = -1 + 2 + 7 - 8 = 0$$ 7. Polynom faktorisieren: $$p(\lambda) = (\lambda - 1)(-\lambda^2 + \lambda + 8)$$ 8. Die quadratische Gleichung $-\lambda^2 + \lambda + 8 = 0$ hat zwei weitere Eigenwerte. 9. **Eigenvektor zu $\lambda=1$ bestimmen:** Löse $(A - I)v = 0$: $$\begin{pmatrix}3 & 2 & -2 \\ -5 & -3 & 5 \\ 2 & 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$ 10. Gleichungssystem: - $3x + 2y - 2z = 0$ - $-5x - 3y + 5z = 0$ - $2x + y - z = 0$ 11. Aus der dritten Gleichung: $y = z - 2x$ 12. Einsetzen in die erste: $$3x + 2(z - 2x) - 2z = 3x + 2z - 4x - 2z = -x = 0 \Rightarrow x=0$$ 13. Dann $y = z$, wähle $z = t$, Eigenvektor: $$v = \begin{pmatrix}0 \\ t \\ t\end{pmatrix} = t \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$$ 14. Die 2-dimensionale Ebene ist der Unterraum orthogonal zu $v$, also alle $w$ mit $w \cdot v = 0$: $$0 \cdot w_1 + 1 \cdot w_2 + 1 \cdot w_3 = 0 \Rightarrow w_2 + w_3 = 0$$ 15. **Gleichung der invarianten Ebene:** $$w_2 + w_3 = 0$$ --- ### b) Matrix $A_b$ 16. **Eigenwerte bestimmen:** $$\det\left(\begin{pmatrix}4-\lambda & 3 & -6 \\ -1 & 1-\lambda & 1 \\ 2 & 2 & -3-\lambda\end{pmatrix}\right) = 0$$ 17. Charakteristisches Polynom: $$p(\lambda) = -\lambda^3 + 2\lambda^2 + 7\lambda - 8 = 0$$ 18. Wie bei a) ist $\lambda=1$ eine Nullstelle. 19. Eigenvektor zu $\lambda=1$: $$(A - I)v = 0$$ $$\begin{pmatrix}3 & 3 & -6 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & -4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = 0$$ 20. Gleichungssystem: - $3x + 3y - 6z = 0$ - $-x + 0y + z = 0$ - $2x + 2y - 4z = 0$ 21. Aus zweiter Gleichung: $z = x$ 22. Einsetzen in erste: $$3x + 3y - 6x = -3x + 3y = 0 \Rightarrow y = x$$ 23. Die dritte Gleichung ist linear abhängig. 24. Eigenvektor: $$v = \begin{pmatrix}x \\ x \\ x\end{pmatrix} = x \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$$ 25. Die 2-dimensionale Ebene ist der Unterraum orthogonal zu $v$: $$w_1 + w_2 + w_3 = 0$$ --- **Endergebnis:** - a) Invariante Ebene: $$w_2 + w_3 = 0$$ - b) Invariante Ebene: $$w_1 + w_2 + w_3 = 0$$