1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Parameterform einer Ebene: $$\vec{x} = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}7 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Gesucht ist die Koordinatenform (Normalform) der Ebene. 2. **Formel und Vorgehen:** Die Koordinatenform einer Ebene lautet: $$Ax + By + Cz = D$$ Dabei ist $\vec{n} = \begin{pmatrix}A \\ B \\ C \end{pmatrix}$ der Normalenvektor der Ebene. Der Normalenvektor ist orthogonal zu den Richtungsvektoren $\vec{v_1} = \begin{pmatrix}7 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{v_2} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$. 3. **Berechnung des Normalenvektors:** Der Normalenvektor ist das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren: $$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{pmatrix}7 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$$ Berechnung: $$\vec{n} = \begin{pmatrix}(-3) \cdot 3 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 - 7 \cdot 3 \\ 7 \cdot 1 - (-3) \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9 - 1 \\ 1 - 21 \\ 7 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-10 \\ -20 \\ 10 \end{pmatrix}$$ 4. **Vereinfachung des Normalenvektors:** $$\vec{n} = \begin{pmatrix}-10 \\ -20 \\ 10 \end{pmatrix} = 10 \cdot \begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ Wir können durch 10 teilen: $$\vec{n} = \begin{pmatrix}-1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ 5. **Aufstellen der Koordinatenform:** Die Ebene geht durch den Punkt $\vec{p} = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$. Die Koordinatenform lautet: $$-1(x - 3) - 2(y - 1) + 1(z - 2) = 0$$ 6. **Ausmultiplizieren:** $$-1x + 3 - 2y + 2 + z - 2 = 0$$ $$-x - 2y + z + 3 = 0$$ 7. **Endergebnis:** $$-x - 2y + z = -3$$ Oder umgestellt: $$x + 2y - z = 3$$ **Antwort:** Die Koordinatenform der Ebene ist $$x + 2y - z = 3$$