1. **Problemstellung:** Gegeben ist das lineare Gleichungssystem (LGS): $$\begin{cases}-2x_1 + x_2 + 4x_3 = -3 \\ 2x_1 - x_2 - 4x_3 = 0 \\ -4x_1 + 2x_2 + 8x_3 = 5 \end{cases}$$ Wir wollen bestimmen, ob das LGS keine, eine oder unendlich viele Lösungen hat, und die Lösungsmenge angeben. 2. **Wichtige Regeln:** - Ein LGS hat genau eine Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix vollen Rang hat und der Rang der erweiterten Matrix gleich dem Rang der Koeffizientenmatrix ist. - Hat der Rang der Koeffizientenmatrix nicht vollen Rang, aber gleich dem Rang der erweiterten Matrix, gibt es unendlich viele Lösungen. - Ist der Rang der erweiterten Matrix größer als der Rang der Koeffizientenmatrix, gibt es keine Lösung. 3. **Aufstellen der Koeffizientenmatrix $A$ und der erweiterten Matrix $(A|b)$:** $$A = \begin{pmatrix}-2 & 1 & 4 \\ 2 & -1 & -4 \\ -4 & 2 & 8 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}-3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$$ 4. **Zeilenumformungen zur Bestimmung des Rangs:** - Addiere die 1. und 2. Zeile: $$\begin{pmatrix}-2 & 1 & 4 & -3 \\ 2 & -1 & -4 & 0 \\ -4 & 2 & 8 & 5 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix}-2 & 1 & 4 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ -4 & 2 & 8 & 5 \end{pmatrix}$$ 5. **Beobachtung:** Die 2. Zeile hat nun die Form $0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = -3$, was unmöglich ist. 6. **Schlussfolgerung:** Da eine Zeile der Form $0 = -3$ existiert, ist das LGS widersprüchlich und hat **keine Lösung**. **Endergebnis:** Das LGS hat keine Lösung, da die erweiterte Matrix einen höheren Rang als die Koeffizientenmatrix besitzt.