1. **Problem statement:** Berechnen Sie die Abbildungsvorschriften der gegebenen Transformationen in der Ebene mit homogenen Koordinaten. 2. **Wichtige Grundlagen:** - Homogene Koordinaten für Punkt $(x,y)$ sind $(x,y,1)$. - Transformationen in der Ebene können durch $3\times3$ Matrizen dargestellt werden. - Drehung um Winkel $\theta$ um Ursprung: $$\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Translation um Vektor $(t_x,t_y)$: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Zentrische Streckung mit Faktor $k$ und Zentrum $(z_x,z_y)$: $$T(z_x,z_y) \cdot S(k) \cdot T(-z_x,-z_y)$$ mit $$S(k) = \begin{pmatrix}k & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Scherung entlang $x$- oder $y$-Achse mit Parameter $m$ (abhängig von Achse). - Spiegelung an $x$-Achse: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ --- ### a) Drehung um $\frac{2\pi}{3}$ um Ursprung $O$: $$\theta = \frac{2\pi}{3}$$ $$R = \begin{pmatrix}\cos\frac{2\pi}{3} & -\sin\frac{2\pi}{3} & 0 \\ \sin\frac{2\pi}{3} & \cos\frac{2\pi}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ --- ### b) Drehung um $\frac{\pi}{6}$ um Punkt $P(1|-2)$: 1. Translation $T_{-P}$ um $-P$: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ 2. Drehung $R_{\frac{\pi}{6}}$ um Ursprung: $$\begin{pmatrix}\cos\frac{\pi}{6} & -\sin\frac{\pi}{6} & 0 \\ \sin\frac{\pi}{6} & \cos\frac{\pi}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ 3. Translation $T_P$ um $P$: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ Gesamte Transformation: $$M = T_P \cdot R_{\frac{\pi}{6}} \cdot T_{-P} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ --- ### c) Zentrische Streckung mit Faktor 3 und Zentrum $Z(-2|3)$: 1. Translation $T_{-Z}$: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ 2. Streckung $S_3$: $$\begin{pmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ 3. Translation $T_Z$: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ Gesamte Transformation: $$M = T_Z \cdot S_3 \cdot T_{-Z}$$ --- ### d) Scherung entlang der Achse $y=-1$, sodass $P(-4|2)$ zu $P'(5|2)$ wird: 1. Verschiebung der Achse $y=-1$ auf $y=0$: $$T = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ 2. Scherung entlang $x$-Achse mit Faktor $m$: $$S = \begin{pmatrix}1 & m & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ 3. Rückverschiebung: $$T^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ Gesamte Transformation: $$M = T^{-1} \cdot S \cdot T$$ Bestimmung von $m$: P in homogenen Koordinaten: $\begin{pmatrix}-4 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$ Nach $T$: $\begin{pmatrix}-4 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}$ Nach $S$: $\begin{pmatrix}-4 + 3m \\ 3 \\ 1\end{pmatrix}$ Nach $T^{-1}$: $\begin{pmatrix}-4 + 3m \\ 2 \\ 1\end{pmatrix}$ Soll $P' = (5,2)$ sein, also: $$-4 + 3m = 5 \Rightarrow 3m = 9 \Rightarrow m = 3$$ Also: $$M = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ --- ### e) Spiegelung an der $x$-Achse und anschließende Drehung um $\frac{\pi}{3}$ um Ursprung: Spiegelung $S_x$: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ Drehung $R_{\frac{\pi}{3}}$: $$\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ Gesamte Transformation: $$M = R_{\frac{\pi}{3}} \cdot S_x$$ Vertauschbarkeit prüfen: $$S_x \cdot R_{\frac{\pi}{3}} \neq R_{\frac{\pi}{3}} \cdot S_x$$ Da Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, kann man die Reihenfolge nicht vertauschen. --- ### f) Achsenspiegelung an der Geraden $g: \vec{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$: 1. Die Gerade hat Richtungsvektor $\vec{v} = \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$. 2. Normierter Richtungsvektor: $$\vec{u} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$$ 3. Spiegelungsmatrix an Gerade durch Ursprung mit Richtungsvektor $\vec{u}$: $$S_0 = 2 \vec{u} \vec{u}^T - I = 2 \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} - I = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$$ 4. Translation $T_{-P}$ und $T_P$ für Punkt $P=(1,1)$: $$T_{-P} = \begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad T_P = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ 5. Gesamte Spiegelung: $$M = T_P \cdot \begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \cdot T_{-P}$$ --- **Endergebnis:** Die Abbildungsvorschriften sind die oben angegebenen $3\times3$ Matrizen für jede Teilaufgabe.