1. **Problemstellung:** Gegeben ist der Vektor $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ -3 \end{bmatrix}$. Gesucht sind zwei Vektoren $\vec{v}_2, \vec{v}_3 \in \mathbb{R}^3$, die folgende Bedingungen erfüllen: - $\vec{v}_2 \neq \vec{0}$ und $\vec{v}_3 \neq \vec{0}$ - $\vec{v}_1 \perp \vec{v}_2$, $\vec{v}_1 \perp \vec{v}_3$ und $\vec{v}_2 \perp \vec{v}_3$ - $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$ bilden ein Rechtssystem in dieser Reihenfolge. 2. **Wichtige Regeln und Formeln:** - Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt null ist: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. - Ein Rechtssystem entsteht, wenn $\vec{v}_3 = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ (Vektorprodukt). 3. **Bestimmung von $\vec{v}_2$:** Wir suchen einen Vektor $\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$, der orthogonal zu $\vec{v}_1$ ist: $$4x + 2y - 3z = 0$$ Wähle z.B. $x=1$, $y=0$, dann: $$4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 - 3z = 0 \Rightarrow 4 - 3z = 0 \Rightarrow z = \frac{4}{3}$$ Also: $$\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{4}{3} \end{bmatrix}$$ 4. **Bestimmung von $\vec{v}_3$:** Da $\vec{v}_3$ orthogonal zu $\vec{v}_1$ und $\vec{v}_2$ sein soll und das Rechtssystem bilden muss, gilt: $$\vec{v}_3 = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$$ Berechnung des Kreuzprodukts: $$\vec{v}_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 2 & -3 \\ 1 & 0 & \frac{4}{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 0 & \frac{4}{3} \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 1 & \frac{4}{3} \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Berechnung der Determinanten: $$\mathbf{i} (2 \cdot \frac{4}{3} - 0) - \mathbf{j} (4 \cdot \frac{4}{3} - (-3) \cdot 1) + \mathbf{k} (4 \cdot 0 - 2 \cdot 1) = \mathbf{i} \frac{8}{3} - \mathbf{j} (\frac{16}{3} + 3) - \mathbf{k} 2$$ Vereinfachung: $$\vec{v}_3 = \begin{bmatrix} \frac{8}{3} \\ -\left(\frac{16}{3} + 3\right) \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{8}{3} \\ -\frac{25}{3} \\ -2 \end{bmatrix}$$ 5. **Überprüfung:** - $\vec{v}_2 \neq \vec{0}$ und $\vec{v}_3 \neq \vec{0}$: erfüllt. - Orthogonalität: - $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$ (bereits gezeigt). - $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_3 = 4 \cdot \frac{8}{3} + 2 \cdot (-\frac{25}{3}) + (-3) \cdot (-2) = \frac{32}{3} - \frac{50}{3} + 6 = 0$. - $\vec{v}_2 \cdot \vec{v}_3 = 1 \cdot \frac{8}{3} + 0 \cdot (-\frac{25}{3}) + \frac{4}{3} \cdot (-2) = \frac{8}{3} - \frac{8}{3} = 0$. - Rechtssystem: durch Definition von $\vec{v}_3 = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ gegeben. **Endergebnis:** $$\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{4}{3} \end{bmatrix}, \quad \vec{v}_3 = \begin{bmatrix} \frac{8}{3} \\ -\frac{25}{3} \\ -2 \end{bmatrix}$$