1. **Problemstellung:** Gegeben sind drei Ebenen B1, B2 und B3, jeweils durch drei Punkte definiert. Gesucht sind die Koordinaten der Punkte und die vektorielle Parametergleichung der Ebenen in der Form $$\vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$$ 2. **Wichtige Regeln:** - Die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ sind Richtungsvektoren, die von einem Stützpunkt $\vec{a}$ ausgehen. - Die Richtungsvektoren ergeben sich aus Differenzen der gegebenen Punkte, z.B. $\vec{u} = \overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A}$. 3. **Ebene B1:** - Punkte: $A = (x_A, y_A, z_A)$, $B = (x_B, y_B, z_B)$, $C = (x_C, y_C, z_C)$ - Richtungsvektoren: $$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$$ $$\vec{v} = \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)$$ - Parametergleichung: $$\vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v} = (x_A, y_A, z_A) + r \cdot (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) + s \cdot (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)$$ 4. **Ebene B2:** - Punkte: $A' = (x_{A'}, y_{A'}, z_{A'})$, $B' = (x_{B'}, y_{B'}, z_{B'})$, $C' = (x_{C'}, y_{C'}, z_{C'})$ - Richtungsvektoren: $$\vec{u} = \overrightarrow{A'B'} = (x_{B'} - x_{A'}, y_{B'} - y_{A'}, z_{B'} - z_{A'})$$ $$\vec{v} = \overrightarrow{A'C'} = (x_{C'} - x_{A'}, y_{C'} - y_{A'}, z_{C'} - z_{A'})$$ - Parametergleichung: $$\vec{x} = (x_{A'}, y_{A'}, z_{A'}) + r \cdot (x_{B'} - x_{A'}, y_{B'} - y_{A'}, z_{B'} - z_{A'}) + s \cdot (x_{C'} - x_{A'}, y_{C'} - y_{A'}, z_{C'} - z_{A'})$$ 5. **Ebene B3:** - Punkte: $A = (x_A, y_A, z_A)$, $B = (x_B, y_B, z_B)$, $C = (x_C, y_C, z_C)$ (wie B1) - Richtungsvektoren: $$\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$$ $$\vec{v} = \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)$$ - Parametergleichung: $$\vec{x} = (x_A, y_A, z_A) + r \cdot (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) + s \cdot (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)$$ **Hinweis:** Die genauen Koordinaten der Punkte A, B, C, A', B', C' müssen aus dem Bild oder der Aufgabenstellung entnommen werden, da sie hier nicht explizit gegeben sind. **Zusammenfassung:** Die Parametergleichung jeder Ebene lautet $$\vec{x} = \vec{a} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}$$ mit $\vec{a}$ als Stützvektor (z.B. Punkt A) und $\vec{u}, \vec{v}$ als Richtungsvektoren (z.B. $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$). q_count = 3