1. **Problemstellung:** Wir sollen untersuchen, ob die Punkte $P$ in der Ebene $E$ liegen, die durch den Punkt $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}$ und die Richtungsvektoren $\mathbf{u} = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix}$ und $\mathbf{v} = \begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}$ definiert ist. $E: \mathbf{x} = \mathbf{a} + r\mathbf{u} + s\mathbf{v}$ mit Parametern $r,s \in \mathbb{R}$. 2. **Formel:** Ein Punkt $P = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}$ liegt in $E$, wenn es $r,s$ gibt, so dass $$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 3\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}3 \\ -2 \\ 1\end{pmatrix}$$ 3. **Gleichungssystem aufstellen:** $$\begin{cases} x = 1 + 2r + 3s \\ y = 0 + r - 2s \\ z = -1 + 3r + s \end{cases}$$ 4. **Punkte prüfen:** --- **a) Punkt $P(8|0|6)$:** $$\begin{cases} 8 = 1 + 2r + 3s \\ 0 = r - 2s \\ 6 = -1 + 3r + s \end{cases}$$ Aus der zweiten Gleichung: $$r = 2s$$ Einsetzen in die erste: $$8 = 1 + 2(2s) + 3s = 1 + 4s + 3s = 1 + 7s$$ $$\Rightarrow 7s = 7 \Rightarrow s = 1$$ Dann $$r = 2 \cdot 1 = 2$$ Einsetzen in die dritte Gleichung: $$6 = -1 + 3(2) + 1 = -1 + 6 + 1 = 6$$ Die Gleichung stimmt, also liegt $P(8|0|6)$ in der Ebene. --- **b) Punkt $P(2|1|3)$:** $$\begin{cases} 2 = 1 + 2r + 3s \\ 1 = r - 2s \\ 3 = -1 + 3r + s \end{cases}$$ Zweite Gleichung: $$r = 1 + 2s$$ Einsetzen in die erste: $$2 = 1 + 2(1 + 2s) + 3s = 1 + 2 + 4s + 3s = 3 + 7s$$ $$\Rightarrow 7s = -1 \Rightarrow s = -\frac{1}{7}$$ Dann $$r = 1 + 2 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right) = 1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$$ Einsetzen in die dritte Gleichung: $$3 = -1 + 3 \cdot \frac{5}{7} - \frac{1}{7} = -1 + \frac{15}{7} - \frac{1}{7} = -1 + \frac{14}{7} = -1 + 2 = 1$$ Dies stimmt nicht mit 3 überein, also liegt $P(2|1|3)$ nicht in der Ebene. --- **c) Punkt $P(16|-3|11)$:** $$\begin{cases} 16 = 1 + 2r + 3s \\ -3 = r - 2s \\ 11 = -1 + 3r + s \end{cases}$$ Zweite Gleichung: $$r = -3 + 2s$$ Einsetzen in die erste: $$16 = 1 + 2(-3 + 2s) + 3s = 1 - 6 + 4s + 3s = -5 + 7s$$ $$\Rightarrow 7s = 21 \Rightarrow s = 3$$ Dann $$r = -3 + 2 \cdot 3 = -3 + 6 = 3$$ Einsetzen in die dritte Gleichung: $$11 = -1 + 3 \cdot 3 + 3 = -1 + 9 + 3 = 11$$ Die Gleichung stimmt, also liegt $P(16|-3|11)$ in der Ebene. --- **d) Punkt $P(6|-1|5)$:** $$\begin{cases} 6 = 1 + 2r + 3s \\ -1 = r - 2s \\ 5 = -1 + 3r + s \end{cases}$$ Zweite Gleichung: $$r = -1 + 2s$$ Einsetzen in die erste: $$6 = 1 + 2(-1 + 2s) + 3s = 1 - 2 + 4s + 3s = -1 + 7s$$ $$\Rightarrow 7s = 7 \Rightarrow s = 1$$ Dann $$r = -1 + 2 \cdot 1 = 1$$ Einsetzen in die dritte Gleichung: $$5 = -1 + 3 \cdot 1 + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$$ Dies stimmt nicht mit 5 überein, also liegt $P(6|-1|5)$ nicht in der Ebene. --- **Zusammenfassung:** - $P(8|0|6)$ liegt in der Ebene. - $P(2|1|3)$ liegt nicht in der Ebene. - $P(16|-3|11)$ liegt in der Ebene. - $P(6|-1|5)$ liegt nicht in der Ebene.