1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Rekursion $$x_{n+1} = A x_n$$ mit $$A = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \end{pmatrix}$$ und Anfangsvektor $$x_0 = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$. Gesucht ist eine explizite Formel für die zweite Koordinate $$k_n$$ von $$x_n$$ sowie das Langzeitverhalten von $$k_n$$ in Abhängigkeit von $$x_0$$. 2. **Wichtige Idee:** Um eine explizite Formel für $$k_n$$ zu finden, ist es sinnvoll, die Matrix $$A$$ zu diagonalisieren. Das bedeutet, wir suchen Eigenwerte und Eigenvektoren von $$A$$, um $$A$$ in der Form $$A = PDP^{-1}$$ zu schreiben, wobei $$D$$ eine Diagonalmatrix ist. 3. **Eigenwerte bestimmen:** Die Eigenwerte $$\lambda$$ von $$A$$ erhält man aus der Gleichung $$\det(A - \lambda I) = 0$$. 4. **Eigenvektoren bestimmen:** Für jeden Eigenwert $$\lambda$$ löst man $$ (A - \lambda I) v = 0 $$, um den Eigenvektor $$v$$ zu finden. 5. **Rekursion lösen:** Mit $$x_n = A^n x_0 = P D^n P^{-1} x_0$$ kann man $$x_n$$ explizit berechnen. Die zweite Koordinate $$k_n$$ ist dann die zweite Komponente von $$x_n$$. 6. **Langzeitverhalten:** Da $$D$$ diagonal ist, ist $$D^n$$ einfach die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten hoch $$n$$. Das Langzeitverhalten von $$k_n$$ hängt also von den Beträgen der Eigenwerte ab und davon, wie $$x_0$$ in Eigenvektoren zerlegt wird. **Zusammenfassung:** - Finde Eigenwerte und Eigenvektoren von $$A$$. - Schreibe $$x_0$$ als Linearkombination der Eigenvektoren. - Berechne $$x_n = A^n x_0 = P D^n P^{-1} x_0$$. - Extrahiere die zweite Koordinate $$k_n$$. - Analysiere $$k_n$$ für $$n \to \infty$$ anhand der Eigenwerte. Dies ist der Lösungsansatz, um die Aufgabe systematisch anzugehen.