1. Das Problem besteht darin, die Schnittgerade zweier Ebenen zu berechnen, gegeben sind die Ebenen: $$2x_1 - x_2 + 2x_3 = 13$$ und eine Parameterdarstellung der Ebene: $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + r \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$$ sowie der Stützvektor der Schnittgeraden $$\mathbf{p} = (6, -3, -1)$$. 2. Die Schnittgerade zweier Ebenen ist die Menge aller Punkte, die beide Ebenengleichungen erfüllen. 3. Die gegebene Parameterdarstellung beschreibt eine Ebene. Wir setzen den Stützvektor $$\mathbf{p}$$ als Punkt auf der Schnittgeraden ein und überprüfen, ob er auf der Ebene liegt. 4. Um die Schnittgerade zu finden, setzen wir $$\mathbf{x} = \mathbf{p} + t \mathbf{d}$$, wobei $$\mathbf{d}$$ der Richtungsvektor der Schnittgeraden ist. 5. Der Richtungsvektor $$\mathbf{d}$$ ist der Kreuzvektor der Normalenvektoren der beiden Ebenen. 6. Die Normalenvektoren der Ebenen sind: - Für die Ebene $$2x_1 - x_2 + 2x_3 = 13$$ ist $$\mathbf{n}_1 = (2, -1, 2)$$. - Für die zweite Ebene, deren Parameterdarstellung gegeben ist, sind die Richtungsvektoren $$\mathbf{v}_1 = (1,1,0)$$ und $$\mathbf{v}_2 = (2,-1,2)$$. Der Normalenvektor $$\mathbf{n}_2$$ ist orthogonal zu beiden, also: $$\mathbf{n}_2 = \mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (2, -2, -3)$$ 7. Der Richtungsvektor der Schnittgeraden ist der Kreuzvektor von $$\mathbf{n}_1$$ und $$\mathbf{n}_2$$: $$\mathbf{d} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & -3 \end{vmatrix} = (7, 10, -2)$$ 8. Die Schnittgerade hat also die Parameterdarstellung: $$\mathbf{x} = \begin{pmatrix}6 \\ -3 \\ -1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}7 \\ 10 \\ -2\end{pmatrix}$$ 9. Zusammenfassung: Die Schnittgerade ist die Menge aller Punkte $$\mathbf{x}$$, die sich schreiben lassen als $$\mathbf{x} = (6, -3, -1) + t (7, 10, -2)$$ mit $$t \in \mathbb{R}$$.