1. Das Problem: Gegeben sind zwei Ebenen, eine in Koordinatenform (E) und eine in Parameterform (F). Gesucht ist die Schnittgerade dieser beiden Ebenen. 2. Formel und wichtige Regeln: - Die Koordinatenform einer Ebene hat die Form $$Ax + By + Cz = D$$. - Die Parameterform einer Ebene ist $$\vec{r} = \vec{a} + s\vec{u} + t\vec{v}$$, wobei $$\vec{a}$$ ein Punkt auf der Ebene ist und $$\vec{u}, \vec{v}$$ Richtungsvektoren der Ebene sind. - Die Schnittgerade zweier Ebenen ist die Menge aller Punkte, die beide Ebenen erfüllen. 3. Vorgehen: - Setze die Parameterform von F in die Koordinatenform von E ein. - Ersetze $$x, y, z$$ in der Koordinatenform durch die Komponenten von $$\vec{r} = \vec{a} + s\vec{u} + t\vec{v}$$. - Erhalte eine Gleichung in $$s$$ und $$t$$. - Löse diese Gleichung nach $$s$$ oder $$t$$ auf. - Setze den Wert zurück in die Parameterform, um die Schnittgerade als Parameterdarstellung zu erhalten. 4. Beispiel: Sei Ebene E: $$2x - y + z = 3$$ Sei Ebene F: $$\vec{r} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} + s \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$$ Setze $$x, y, z$$ aus F in E ein: $$2(1 + s + 0t) - (0 + 2s + 1t) + (2 - s + t) = 3$$ Vereinfache: $$2 + 2s - 2s - t + 2 - s + t = 3$$ $$2 + 2s - 2s - t + 2 - s + t = 3$$ Kürze $$2s - 2s = 0$$ und $$-t + t = 0$$: $$2 + 2 - s = 3$$ $$4 - s = 3$$ Löse nach $$s$$: $$s = 1$$ Setze $$s=1$$ zurück in die Parameterform von F: $$\vec{r} = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} + 1 \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$$ Dies ist die Schnittgerade in Parameterform. 5. Zusammenfassung: Um die Schnittgerade zu finden, setzt man die Parameterform in die Koordinatenform ein, löst nach einem Parameter, und erhält so die Schnittgerade als Parameterdarstellung.