1. **Problemstellung:** Gegeben sind Vektoren $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ mit $\vec{a} \perp \vec{b}$ und $\vec{c} = r \cdot \vec{a}$, wobei $r \in \mathbb{R}$ und $r \neq 1$. Es sollen die Ausdrücke 1 bis 8 den passenden Kategorien (0, $\vec{0}$, Vektor + $\vec{0}$, Zahl + $\vec{0}$) zugeordnet und begründet werden. 2. **Wichtige Regeln:** - Skalarprodukt $\vec{a} \circ \vec{b}$ ist eine Zahl. - Vektorprodukt $\vec{a} \times \vec{b}$ ist ein Vektor. - $\vec{a} \perp \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \circ \vec{b} = 0$. - $\vec{c} = r \cdot \vec{a}$ bedeutet $\vec{c}$ ist kollinear zu $\vec{a}$. 3. **Ausdrücke analysieren:** 1) $\vec{a} \circ (\vec{b} \times \vec{c})$: - $\vec{b} \times \vec{c}$ ist Vektor. - Skalarprodukt mit $\vec{a}$ ergibt Zahl. - Da $\vec{c} = r \vec{a}$, $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{b} \times (r \vec{a}) = r (\vec{b} \times \vec{a}) = -r (\vec{a} \times \vec{b})$. - $\vec{a} \circ (\vec{b} \times \vec{c}) = r \vec{a} \circ (\vec{a} \times \vec{b})$. - Skalarprodukt eines Vektors mit Kreuzprodukt, das $\vec{a}$ enthält, ist 0 (da $\vec{a} \perp \vec{a} \times \vec{b}$). - Ergebnis: Zahl 0. 2) $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c})$: - Summe ist Vektor. - Kreuzprodukt zweier Vektoren ist Vektor. - Ergebnis: Vektor. 3) $(\vec{a} \times \vec{b}) \circ \vec{c}$: - $\vec{a} \times \vec{b}$ ist Vektor. - Skalarprodukt mit $\vec{c} = r \vec{a}$. - $((\vec{a} \times \vec{b}) \circ \vec{c}) = r ((\vec{a} \times \vec{b}) \circ \vec{a})$. - Skalarprodukt eines Vektors mit Kreuzprodukt, das $\vec{a}$ enthält, ist 0. - Ergebnis: Zahl 0. 4) $\vec{a} \times \vec{c}$: - $\vec{c} = r \vec{a}$. - Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Vielfachen von sich selbst ist $\vec{0}$. - Ergebnis: Nullvektor $\vec{0}$. 5) $(\vec{a} \circ \vec{b}) \cdot \vec{c}$: - $\vec{a} \circ \vec{b} = 0$ (Orthogonalität). - $0 \cdot \vec{c} = \vec{0}$. - Ergebnis: Nullvektor $\vec{0}$. 6) $(\vec{a} - \vec{c}) \times \vec{b}$: - $\vec{a} - \vec{c} = \vec{a} - r \vec{a} = (1 - r) \vec{a}$. - Kreuzprodukt: $(1 - r) \vec{a} \times \vec{b} = (1 - r)(\vec{a} \times \vec{b})$. - Ergebnis: Vektor. 7) $\vec{a} \circ \vec{c} - \vec{a} \circ \vec{b}$: - $\vec{a} \circ \vec{c} = \vec{a} \circ (r \vec{a}) = r (\vec{a} \circ \vec{a}) = r ||\vec{a}||^2$ (Zahl). - $\vec{a} \circ \vec{b} = 0$. - Differenz ist Zahl. - Ergebnis: Zahl. 8) $\vec{a} \cdot (\vec{b} \circ \vec{c})$: - $\vec{b} \circ \vec{c}$ ist Zahl. - Multiplikation eines Vektors mit Zahl ist Vektor. - Ergebnis: Vektor. 4. **Zuordnung:** - Kategorie 0 (Zahl): 1, 3, 7 - Kategorie $\vec{0}$ (Nullvektor): 4, 5 - Kategorie Vektor + $\vec{0}$ (Vektor): 2, 6, 8 5. **Begründung:** - Orthogonalität führt zu Null im Skalarprodukt. - Kreuzprodukt mit kollinearem Vektor ergibt Nullvektor. - Multiplikation mit Skalar ändert Vektor nicht in Zahl. **Endergebnis:** | Ausdruck | Kategorie | |----------|-----------| | 1 | Zahl (0) | | 2 | Vektor + $\vec{0}$ | | 3 | Zahl (0) | | 4 | $\vec{0}$ | | 5 | $\vec{0}$ | | 6 | Vektor + $\vec{0}$ | | 7 | Zahl (0) | | 8 | Vektor + $\vec{0}$ |