1. **Problemstellung:** Wir beobachten die Entwicklung von Bakterien in drei Proben mit jeweils 320 Bakterien zu Beginn (Stunde 0). Probe I verdoppelt sich pro Stunde, Probe II verdreifacht sich pro Stunde, Probe III halbiert sich pro Stunde. 2. **Formeln:** Die Anzahl der Bakterien nach $t$ Stunden kann man mit der Formel für exponentielles Wachstum oder Zerfall berechnen: $$y = y_0 \cdot a^t$$ Dabei ist $y_0 = 320$ die Anfangsanzahl, $a$ der Wachstumsfaktor pro Stunde, und $t$ die Zeit in Stunden. 3. **Wachstumsfaktoren:** - Probe I: $a = 2$ (Verdopplung) - Probe II: $a = 3$ (Verdreifachung) - Probe III: $a = \frac{1}{2}$ (Halbierung) 4. **a) Wertetabelle für $t=0$ bis $5$ Stunden:** | Stunde $t$ | Probe I $y=320\cdot2^t$ | Probe II $y=320\cdot3^t$ | Probe III $y=320\cdot(\frac{1}{2})^t$ | |---|---|---|---| | 0 | $320$ | $320$ | $320$ | | 1 | $320\cdot2=640$ | $320\cdot3=960$ | $320\cdot\frac{1}{2}=160$ | | 2 | $320\cdot2^2=1280$ | $320\cdot3^2=2880$ | $320\cdot\frac{1}{2}^2=80$ | | 3 | $320\cdot2^3=2560$ | $320\cdot3^3=8640$ | $320\cdot\frac{1}{2}^3=40$ | | 4 | $320\cdot2^4=5120$ | $320\cdot3^4=25920$ | $320\cdot\frac{1}{2}^4=20$ | | 5 | $320\cdot2^5=10240$ | $320\cdot3^5=77760$ | $320\cdot\frac{1}{2}^5=10$ | 5. **b) Wertetabelle für $t=-3$ bis $5$ Stunden (drei Stunden vor Beobachtungsbeginn):** Berechnung für negative $t$ bedeutet Division durch $a^{-t}$: $$y = 320 \cdot a^t = 320 \cdot \frac{1}{a^{-t}}$$ | Stunde $t$ | Probe I | Probe II | Probe III | |---|---|---|---| | -3 | $320\cdot2^{-3}=320\cdot\frac{1}{8}=40$ | $320\cdot3^{-3}=320\cdot\frac{1}{27}\approx11.85$ | $320\cdot(\frac{1}{2})^{-3}=320\cdot2^3=2560$ | | -2 | $320\cdot2^{-2}=320\cdot\frac{1}{4}=80$ | $320\cdot3^{-2}=320\cdot\frac{1}{9}\approx35.56$ | $320\cdot(\frac{1}{2})^{-2}=320\cdot2^2=1280$ | | -1 | $320\cdot2^{-1}=320\cdot\frac{1}{2}=160$ | $320\cdot3^{-1}=320\cdot\frac{1}{3}\approx106.67$ | $320\cdot(\frac{1}{2})^{-1}=320\cdot2=640$ | | 0 | $320$ | $320$ | $320$ | | 1 | $640$ | $960$ | $160$ | | 2 | $1280$ | $2880$ | $80$ | | 3 | $2560$ | $8640$ | $40$ | | 4 | $5120$ | $25920$ | $20$ | | 5 | $10240$ | $77760$ | $10$ | 6. **c) Funktionsgleichungen:** - Probe I: $$y = 320 \cdot 2^t$$ - Probe II: $$y = 320 \cdot 3^t$$ - Probe III: $$y = 320 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^t$$ 7. **d) Eigenschaften der Funktionsgraphen:** - Probe I und II zeigen exponentielles Wachstum mit Basis größer als 1, die Anzahl der Bakterien steigt schnell. - Probe III zeigt exponentiellen Zerfall mit Basis zwischen 0 und 1, die Anzahl der Bakterien halbiert sich jede Stunde. - Alle Funktionen sind für alle reellen $t$ definiert. - Bei $t=0$ haben alle Funktionen den Wert 320 (Startwert). - Für negative $t$ beschreibt die Funktion die Anzahl vor Beobachtungsbeginn.