1. **Problemstellung:** Jenny fährt 20-mal pro Monat jeweils 20 km zur Arbeit und zurück, also insgesamt 400 km im Monat. Der Benzinverbrauch beträgt 8 Liter pro 100 km, und der Benzinpreis im August 2022 ist 1,70 pro Liter. **a1) Berechnung der Benzinkosten im August 2022:** 2. Berechne den Gesamtverbrauch an Benzin für 400 km: $$\text{Verbrauch} = \frac{8}{100} \times 400 = 32 \text{ Liter}$$ 3. Berechne die Benzinkosten: $$\text{Kosten} = 32 \times 1{,}70 = 54{,}4$$ **a2) Prozentuale Steigerung der Benzinkosten von August 2021 zu August 2022:** 4. Die Benzinkosten im August 2021 waren um 16 geringer: $$\text{Kosten}_{2021} = 54{,}4 - 16 = 38{,}4$$ 5. Berechne die prozentuale Steigerung: $$\text{Steigerung} = \frac{54{,}4 - 38{,}4}{38{,}4} = \frac{16}{38{,}4} \approx 0{,}4167 = 41{,}67\%$$ **b) Geschwindigkeit bei 8 Litern Verbrauch pro 100 km:** 6. Gegeben ist die Funktion: $$f(x) = 0{,}001x^2 - 0{,}1x + 9$$ 7. Setze $f(x) = 8$ und löse nach $x$: $$0{,}001x^2 - 0{,}1x + 9 = 8$$ $$0{,}001x^2 - 0{,}1x + 1 = 0$$ 8. Multipliziere mit 1000 zur Vereinfachung: $$x^2 - 100x + 1000 = 0$$ 9. Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel: $$x = \frac{100 \pm \sqrt{100^2 - 4 \times 1 \times 1000}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4000}}{2} = \frac{100 \pm \sqrt{6000}}{2}$$ 10. Berechne die Wurzel: $$\sqrt{6000} \approx 77{,}46$$ 11. Die Lösungen sind: $$x_1 = \frac{100 + 77{,}46}{2} = 88{,}73$$ $$x_2 = \frac{100 - 77{,}46}{2} = 11{,}27$$ 12. Da $x \geq 30$ gilt, ist die gültige Lösung: $$x = 88{,}73 \text{ km/h}$$ **c) Geschwindigkeit mit minimalem Benzinverbrauch:** 13. Die Funktion $f(x)$ ist eine Parabel mit $a = 0{,}001 > 0$, also nach oben geöffnet. 14. Die minimale Stelle liegt bei: $$x_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-0{,}1}{2 \times 0{,}001} = \frac{0{,}1}{0{,}002} = 50$$ 15. Berechne den minimalen Verbrauch: $$f(50) = 0{,}001 \times 50^2 - 0{,}1 \times 50 + 9 = 0{,}001 \times 2500 - 5 + 9 = 2{,}5 - 5 + 9 = 6{,}5$$ 16. Berechne die Benzinkosten für 800 km bei minimalem Verbrauch: 17. Verbrauch für 800 km: $$\frac{6{,}5}{100} \times 800 = 52 \text{ Liter}$$ 18. Kosten: $$52 \times 1{,}70 = 88{,}4$$ **d) Interpretation von $\frac{f(90) - f(70)}{f(70)} = 0{,}174$:** 19. Berechne $f(70)$ und $f(90)$: $$f(70) = 0{,}001 \times 70^2 - 0{,}1 \times 70 + 9 = 4{,}9 - 7 + 9 = 6{,}9$$ $$f(90) = 0{,}001 \times 90^2 - 0{,}1 \times 90 + 9 = 8{,}1 - 9 + 9 = 8{,}1$$ 20. Berechne den relativen Unterschied: $$\frac{8{,}1 - 6{,}9}{6{,}9} = \frac{1{,}2}{6{,}9} \approx 0{,}174$$ 21. Das bedeutet, dass der Benzinverbrauch bei 90 km/h etwa 17,4 % höher ist als bei 70 km/h. --- **Endergebnis:** - a1) Benzinkosten August 2022: 54,4 - a2) Prozentuale Steigerung: ca. 41,67 % - b) Geschwindigkeit bei 8 Liter Verbrauch: ca. 88,73 km/h - c) Minimale Verbrauchsgeschwindigkeit: 50 km/h, Kosten für 800 km: 88,4 - d) Verbrauch bei 90 km/h ist 17,4 % höher als bei 70 km/h