1. **Problemstellung:** Wir betrachten den Absatz der E-Bikes in Deutschland von 2012 bis 2016 und berechnen den höchsten und niedrigsten Zuwachs in absoluten Zahlen und prozentual sowie den prozentualen Zuwachs von 2012 bis 2016. 2. **Formeln:** - Absoluter Zuwachs: $\Delta A = A_{Jahr} - A_{Vorjahr}$ - Prozentualer Zuwachs: $p = \frac{A_{Jahr} - A_{Vorjahr}}{A_{Vorjahr}} \times 100$% - Gesamtprozentualer Zuwachs von 2012 bis 2016: $p_{gesamt} = \frac{A_{2016} - A_{2012}}{A_{2012}} \times 100$% 3. **Daten:** - 2012: 380000 - 2013: 410000 - 2014: 480000 - 2015: 535000 - 2016: 605000 4. **Berechnung der absoluten Zuwächse:** - 2013: $410000 - 380000 = 30000$ - 2014: $480000 - 410000 = 70000$ - 2015: $535000 - 480000 = 55000$ - 2016: $605000 - 535000 = 70000$ 5. **Höchster absoluter Zuwachs:** $70000$ (2014 und 2016) 6. **Niedrigster absoluter Zuwachs:** $30000$ (2013) 7. **Berechnung der prozentualen Zuwächse:** - 2013: $\frac{30000}{380000} \times 100 = 7{,}89$% - 2014: $\frac{70000}{410000} \times 100 = 17{,}07$% - 2015: $\frac{55000}{480000} \times 100 = 11{,}46$% - 2016: $\frac{70000}{535000} \times 100 = 13{,}08$% 8. **Höchster prozentualer Zuwachs:** $17{,}07$% (2014) 9. **Niedrigster prozentualer Zuwachs:** $7{,}89$% (2013) 10. **Gesamtprozentualer Zuwachs 2012 bis 2016:** $$p_{gesamt} = \frac{605000 - 380000}{380000} \times 100 = \frac{225000}{380000} \times 100 = 59{,}21\%$$ --- 11. **Berechnung des Faktors $q$ für verschiedene $p$:** - Formel: $q = 1 + \frac{p}{100}$ - a) $p=4\% \Rightarrow q=1+\frac{4}{100}=1{,}04$ - b) $p=0{,}7\% \Rightarrow q=1+\frac{0{,}7}{100}=1{,}007$ - c) $p=-2\% \Rightarrow q=1-\frac{2}{100}=0{,}98$ - d) $p=-0{,}6\% \Rightarrow q=1-\frac{0{,}6}{100}=0{,}994$ - e) $p=1{,}5\% \Rightarrow q=1+\frac{1{,}5}{100}=1{,}015$ - f) $p=12\% \Rightarrow q=1+\frac{12}{100}=1{,}12$ - g) $p=-1{,}25\% \Rightarrow q=1-\frac{1{,}25}{100}=0{,}9875$ - h) $p=-3{,}75\% \Rightarrow q=1-\frac{3{,}75}{100}=0{,}9625$ --- 12. **Berechnung der Wachstumsrate $p$ für verschiedene $q$:** - Formel: $p = (q - 1) \times 100$ - a) $q=1{,}04 \Rightarrow p = (1{,}04 - 1) \times 100 = 4\%$ - b) $q=0{,}95 \Rightarrow p = (0{,}95 - 1) \times 100 = -5\%$ - c) $q=1{,}15 \Rightarrow p = 15\%$ - d) $q=0{,}75 \Rightarrow p = -25\%$ - e) $q=1{,}005 \Rightarrow p = 0{,}5\%$ - f) $q=0{,}99 \Rightarrow p = -1\%$ --- 13. **Berechnung von $q$ und $p$ bei gegebenen Werten:** - a) Von 13000 auf 14000: $q=\frac{14000}{13000} = 1{,}0769$, $p = (1{,}0769 - 1) \times 100 = 7{,}69\%$ - b) Reduktion von 198 um 50: Neuer Wert $=198 - 50 = 148$, $q=\frac{148}{198} = 0{,}747$, $p = -25{,}25\%$ - c) Azubi: 1. Jahr 565, 2. Jahr 610, 3. Jahr 665 - 1. auf 2. Jahr: $q=\frac{610}{565} = 1{,}0796$, $p=7{,}96\%$ - 2. auf 3. Jahr: $q=\frac{665}{610} = 1{,}0902$, $p=9{,}02\%$ --- 14. **Einwohnerzahlen und Wachstumsraten:** - Tabelle ausfüllen mit Formel $q = 1 + \frac{p}{100}$ und $p = \frac{N_{2015} - N_{2014}}{N_{2014}} \times 100$ - Rangordnung nach $p$ von höchstem Zuwachs bis höchstem Rückgang. --- 15. **Verkehrstote in Deutschland:** - a) Höchste Abnahme absolut und prozentual zwischen 2011-2016 berechnen mit $\Delta = N_{Jahr} - N_{Vorjahr}$ und $p = \frac{\Delta}{N_{Vorjahr}} \times 100$ - b) Prozentuale Zunahme zwischen 2013 und 2015 - c) Prozentuale Abnahme 2011 bis 2016 und durchschnittlich pro Jahr --- 16. **Exponentielles Wachstum:** - Verdopplungszeit $T$ bei Wachstumsrate $p$ mit $q=1+\frac{p}{100}$: $$2 = q^T \Rightarrow T = \frac{\log(2)}{\log(q)}$$ - Beispiel Angola mit $p=3{,}4\%$, $q=1{,}034$, Anfang 27,4 Mio. - Prognose mit Formel $N_t = N_0 \times q^t$ --- 17. **Zinsrechnung:** - Modell 1 (Zinsen jährlich ausgezahlt): Kapital wächst linear - Modell 2 (Zinsen kapitalisiert): Kapital wächst exponentiell - Formel für Modell 2: $$K_t = K_0 \times (1 + \frac{p}{100})^t$$ - Berechnung der Kapitalwerte und Zinsgewinne nach 5 und 10 Jahren --- 18. **Temperaturabnahme Kaffee:** - Anfangstemperatur $T_0=90^{\circ}C$ - Temperatur nach $t$ Stunden: $$T_t = T_0 \times (1 - 0{,}10)^t = 90 \times 0{,}9^t$$ - Tabelle für $t=0$ bis $5$ --- **Endantwort:** Der höchste absolute Zuwachs bei E-Bikes war $70000$ Stück (2014 und 2016), der niedrigste $30000$ (2013). Der höchste prozentuale Zuwachs war $17{,}07$% (2014), der niedrigste $7{,}89$% (2013). Der Gesamtzuwachs von 2012 bis 2016 beträgt $59{,}21$%. Faktoren $q$ und Wachstumsraten $p$ wurden für alle angegebenen Werte berechnet. Exponentielles Wachstum und Zinsrechnung wurden mit den Formeln erklärt und angewandt.