1. **Problemstellung:** Untersuchen Sie die Funktion $$f(x) = -8 \cdot e^{-0,3x} + 5$$ auf a) Nullstellen b) Verhalten für $$x \to \infty$$ und $$x \to -\infty$$ c) Zeichnen Sie den Graphen. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Die Funktion ist eine Exponentialfunktion der Form $$f(x) = a \cdot e^{kx} + d$$ mit $$a = -8$$, $$k = -0,3$$ und $$d = 5$$. - Nullstellen findet man, indem man $$f(x) = 0$$ setzt und nach $$x$$ löst. - Für $$x \to \infty$$ und $$x \to -\infty$$ betrachtet man das Verhalten des Terms $$e^{-0,3x}$$. 3. **Nullstellen berechnen:** Setze $$f(x) = 0$$: $$0 = -8 \cdot e^{-0,3x} + 5$$ Addiere $$8 \cdot e^{-0,3x}$$ auf beiden Seiten: $$8 \cdot e^{-0,3x} = 5$$ Teile durch 8: $$\cancel{8} \cdot e^{-0,3x} = \frac{5}{\cancel{8}}$$ $$e^{-0,3x} = \frac{5}{8}$$ Wende den natürlichen Logarithmus an: $$\ln\left(e^{-0,3x}\right) = \ln\left(\frac{5}{8}\right)$$ Nutze $$\ln(e^y) = y$$: $$-0,3x = \ln\left(\frac{5}{8}\right)$$ Teile durch $$-0,3$$: $$x = \frac{\ln\left(\frac{5}{8}\right)}{-0,3}$$ Berechne den Wert: $$\ln\left(\frac{5}{8}\right) = \ln(0,625) \approx -0,4700$$ Also: $$x = \frac{-0,4700}{-0,3} \approx 1,567$$ 4. **Verhalten für $$x \to \infty$$ und $$x \to -\infty$$:** - Für $$x \to \infty$$: $$e^{-0,3x} \to 0$$, da der Exponent negativ und $$x$$ groß positiv ist. Also: $$f(x) \to -8 \cdot 0 + 5 = 5$$ - Für $$x \to -\infty$$: $$e^{-0,3x} = e^{0,3|x|} \to \infty$$, da der Exponent sehr groß positiv wird. Also: $$f(x) \to -8 \cdot \infty + 5 = -\infty$$ 5. **Graph:** Die Funktion nähert sich für große $$x$$ dem Wert 5 von unten an (waagrechte Asymptote bei $$y=5$$). Für $$x \to -\infty$$ fällt die Funktion stark ins Negative. **Endergebnis:** - Nullstelle bei $$x \approx 1,567$$ - Grenzwerte: $$\lim_{x \to \infty} f(x) = 5$$, $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$