1. **Problemstellung:** Wir bearbeiten Aufgabe 13, die sich mit einer exponentiellen Funktion f mit Anfangswert 2,4 und Halbwertszeit 1,5 beschäftigt. 2. **Teil a) Anfangswert und Verdopplungszeit ablesen und Vorgehensweise erklären:** Lukas liest aus dem Graphen den Anfangswert ab, das ist der Funktionswert bei $x=0$, hier $f(0)=2{,}4$. Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der sich der Funktionswert halbiert. Das bedeutet, wenn $f(0)=2{,}4$, dann gilt $f(1{,}5)=1{,}2$. Lukas nutzt diese Werte, um den Graphen zu zeichnen, indem er vom Anfangswert ausgehend in Schritten der Halbwertszeit den Wert halbiert und so Punkte setzt. Mit einem Lineal verbindet er diese Punkte, da die Funktion exponentiell verläuft. 3. **Teil b) Graph zeichnen für $-3 \leq x \leq 6$ mit Anfangswert 2,4 und Halbwertszeit 1,5:** - Bei $x=0$ ist $f(0)=2{,}4$. - Bei $x=1{,}5$ halbiert sich der Wert: $f(1{,}5)=\frac{2{,}4}{2}=1{,}2$. - Bei $x=3$ halbiert sich der Wert erneut: $f(3)=\frac{1{,}2}{2}=0{,}6$. - Bei $x=-1{,}5$ verdoppelt sich der Wert: $f(-1{,}5)=2 \times 2{,}4=4{,}8$. - Bei $x=-3$ verdoppelt sich der Wert erneut: $f(-3)=2 \times 4{,}8=9{,}6$. Diese Punkte werden aufgetragen und mit einem glatten Kurvenzug verbunden. 4. **Teil c) Funktionsgleichung ermitteln:** Die allgemeine Form einer exponentiellen Funktion mit Anfangswert $a$ und Halbwertszeit $T$ ist: $$f(x) = a \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{T}}$$ Hier ist $a=2{,}4$ und $T=1{,}5$, also: $$f(x) = 2{,}4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{x}{1{,}5}}$$ 5. **Teil d) Überprüfung der Ergebnisse:** Wir prüfen den Wert bei $x=3$: $$f(3) = 2{,}4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{1{,}5}} = 2{,}4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2{,}4 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}6$$ Das stimmt mit dem abgelesenen Wert überein. Ebenso bei $x=-1{,}5$: $$f(-1{,}5) = 2{,}4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{-1{,}5}{1{,}5}} = 2{,}4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2{,}4 \cdot 2 = 4{,}8$$ Auch dieser Wert stimmt mit dem abgelesenen Wert überein. Damit sind die Funktionsgleichung und die gezeichneten Werte konsistent.