1. Das Problem: Wir sollen die Aufgaben 7 und 8 lösen. Da nur die erste Aufgabe bearbeitet wird, konzentrieren wir uns auf Aufgabe 7. 2. Aufgabe 7: Gegeben sind die Funktionen $f(x) = 3^x$, $g(x) = 10^x$ und $h(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x$. Wir sollen die Eigenschaften und Transformationen dieser Funktionen untersuchen. 3. Wichtige Regeln für Exponentialfunktionen: - Die allgemeine Form ist $y = a^x$ mit $a > 0$ und $a \neq 1$. - Für $a > 1$ wächst die Funktion exponentiell. - Für $0 < a < 1$ fällt die Funktion exponentiell. - Eine Spiegelung an der y-Achse entspricht der Funktion $y = a^{-x}$. 4. Untersuchung der Funktionen: - $f(x) = 3^x$ ist eine wachsende Exponentialfunktion. - $g(x) = 10^x$ ist ebenfalls eine wachsende Exponentialfunktion, aber mit schnellerem Wachstum als $f(x)$. - $h(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x = 5^{-x}$ ist eine fallende Exponentialfunktion. 5. Transformation durch Spiegelung an der y-Achse: - Spiegelung von $f(x) = 3^x$ ergibt $f(-x) = 3^{-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. - Spiegelung von $g(x) = 10^x$ ergibt $g(-x) = 10^{-x} = \left(\frac{1}{10}\right)^x$. - Spiegelung von $h(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ ergibt $h(-x) = \left(\frac{1}{5}\right)^{-x} = 5^x$. 6. Zusammenfassung: - $f(x) = 3^x$ wächst, $f(-x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ fällt. - $g(x) = 10^x$ wächst, $g(-x) = \left(\frac{1}{10}\right)^x$ fällt. - $h(x) = \left(\frac{1}{5}\right)^x$ fällt, $h(-x) = 5^x$ wächst. Das ist die vollständige Lösung der ersten Aufgabe (Aufgabe 7).