1. **Problemstellung:** Untersuchen Sie die Funktion $$f(x) = -6 \cdot e^{-0{,}5x}$$ auf a) Nullstellen b) Verhalten für $$x \to \infty$$ und $$x \to -\infty$$ c) Extrem- und Wendepunkte d) Geben Sie ein Beispiel an, bei dem diese Funktion eine Rolle spielen könnte 2. **Formel und wichtige Regeln:** Die Funktion ist eine Exponentialfunktion der Form $$f(x) = a \cdot e^{bx}$$ mit $$a = -6$$ und $$b = -0{,}5$$. - Nullstellen sind Werte von $$x$$, für die $$f(x) = 0$$ gilt. - Verhalten für $$x \to \infty$$ und $$x \to -\infty$$ wird durch Grenzwerte bestimmt. - Extrempunkte findet man, indem man die erste Ableitung $$f'(x)$$ gleich Null setzt. - Wendepunkte findet man, indem man die zweite Ableitung $$f''(x)$$ gleich Null setzt. 3. **a) Nullstellen:** $$f(x) = -6 \cdot e^{-0{,}5x} = 0$$ Da $$e^{t} > 0$$ für alle $$t$$ gilt, kann $$-6 \cdot e^{-0{,}5x}$$ niemals Null werden. Also hat die Funktion **keine Nullstellen**. 4. **b) Verhalten für $$x \to \infty$$ und $$x \to -\infty$$:** - Für $$x \to \infty$$: $$e^{-0{,}5x} \to 0$$, also $$f(x) \to -6 \cdot 0 = 0$$. - Für $$x \to -\infty$$: $$e^{-0{,}5x} = e^{0{,}5|x|} \to \infty$$, also $$f(x) \to -6 \cdot \infty = -\infty$$. 5. **c) Extrem- und Wendepunkte:** - Erste Ableitung: $$f'(x) = -6 \cdot \frac{d}{dx} e^{-0{,}5x} = -6 \cdot (-0{,}5) e^{-0{,}5x} = 3 e^{-0{,}5x}$$ - Setze $$f'(x) = 0$$: $$3 e^{-0{,}5x} = 0$$ Da $$e^{-0{,}5x} > 0$$, gilt keine Lösung. Also **keine Extrempunkte**. - Zweite Ableitung: $$f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d}{dx} (3 e^{-0{,}5x}) = 3 \cdot (-0{,}5) e^{-0{,}5x} = -1{,}5 e^{-0{,}5x}$$ - Setze $$f''(x) = 0$$: $$-1{,}5 e^{-0{,}5x} = 0$$ Keine Lösung, da $$e^{-0{,}5x} > 0$$. Also **keine Wendepunkte**. 6. **d) Beispiel für Anwendung:** Diese Funktion könnte z.B. den Zerfall einer Substanz beschreiben, bei der die Menge exponentiell abnimmt und immer negativ dargestellt wird, z.B. als negativer Wert in einem Modell für Verlust oder Abnahme. **Zusammenfassung:** - Nullstellen: keine - Verhalten: $$f(x) \to 0$$ für $$x \to \infty$$, $$f(x) \to -\infty$$ für $$x \to -\infty$$ - Extrempunkte: keine - Wendepunkte: keine - Beispiel: Modellierung eines exponentiellen Zerfalls mit negativem Vorzeichen