1. **Problemstellung:** Gegeben sind mehrere Funktionen mit Graphen. Es soll untersucht werden, ob die Funktionen periodisch sind, und wenn ja, die kleinste Periode angegeben werden. Außerdem sollen die Eigenschaften (gerade, ungerade, periodisch) bestimmt werden. Schließlich soll für zwei Funktionen gezeigt werden, dass sie bijektiv sind, die Umkehrfunktion angegeben und die Spiegelung an der 1. Mediane überprüft werden. --- ### Teil 1: Periodizität der Funktionen (a) bis (d) aus den Graphen **Definition:** Eine Funktion $f$ heißt periodisch mit Periode $T > 0$, wenn für alle $x$ gilt: $$f(x+T) = f(x).$$ Die kleinste positive Zahl $T$ mit dieser Eigenschaft heißt kleinste Periode. --- **a)** 1. Der Graph zeigt eine konstante Funktion (alle Werte gleich). 2. Eine konstante Funktion ist periodisch mit jeder Periode $T$. 3. Die kleinste Periode ist nicht eindeutig definiert, da jede $T>0$ gilt. **b)** 1. Der Graph zeigt eine Wellenform, die sich regelmäßig wiederholt. 2. Die Periode ist der Abstand zwischen zwei gleichen Punkten im Muster, z.B. zwischen zwei Maxima. 3. Aus der Skala ist die Periode ungefähr $4$. **c)** 1. Der Graph zeigt eine Funktion, die nicht exakt wiederholt wird. 2. Keine erkennbare Wiederholung, also nicht periodisch. **d)** 1. Der Graph zeigt eine Treppenfunktion mit gleichen Abschnitten. 2. Die Periode ist der Abstand zwischen zwei gleichen Abschnitten, ca. $4$. --- ### Teil 2: Eigenschaften (gerade, ungerade, periodisch) und kleinste Periode **Definitionen:** - Gerade Funktion: $$f(-x) = f(x)$$ - Ungerade Funktion: $$f(-x) = -f(x)$$ - Periodisch wie oben definiert. **a)** 1. Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse. 2. Also gerade Funktion. 3. Periodisch mit Periode ca. $4$. **b)** 1. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. 2. Also ungerade Funktion. 3. Periodisch mit Periode ca. $4$. **c)** 1. Keine Symmetrie erkennbar. 2. Nicht periodisch. **d)** 1. Keine Symmetrie erkennbar. 2. Periodisch mit Periode ca. $4$. --- ### Teil 3: Bijektivität und Umkehrfunktion **a) Funktion:** $$f(x) = 2x - 3$$ 1. $f$ ist eine lineare Funktion mit Steigung $2 \neq 0$, also streng monoton steigend. 2. Daher ist $f$ bijektiv. 3. Umkehrfunktion $f^{-1}$ berechnen: $$y = 2x - 3 \Rightarrow x = \frac{y+3}{2}$$ Also: $$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$$ 4. Die 1. Mediane ist die Gerade $y = x$. 5. Die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ sind an $y=x$ gespiegelt. **b) Funktion:** $$f(x) = -2x + 2$$ 1. $f$ ist linear mit Steigung $-2 \neq 0$, also streng monoton fallend. 2. Daher ist $f$ bijektiv. 3. Umkehrfunktion $f^{-1}$ berechnen: $$y = -2x + 2 \Rightarrow x = \frac{2 - y}{2} = 1 - \frac{y}{2}$$ Also: $$f^{-1}(x) = 1 - \frac{x}{2}$$ 4. Die 1. Mediane ist $y = x$. 5. Die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ sind an $y=x$ gespiegelt. --- **Zusammenfassung:** - Funktionen a) und d) sind periodisch mit Periode ca. $4$. - Funktion b) ist ungerade und periodisch mit Periode ca. $4$. - Funktion c) ist nicht periodisch. - Funktionen a) und b) aus Teil 3 sind bijektiv mit Umkehrfunktionen $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{2}$ bzw. $f^{-1}(x) = 1 - \frac{x}{2}$.