1. Das Problem besteht darin, die Funktionen $f(x) = \sin(0{,}5x)$, $g(x) = \sin(2x)$, $h(x) = \sin(4x)$ sowie die Funktionen $g_1(x) = \sin(3x)$, $g_2(x) = \sin\left(\frac{1}{4}x\right)$ und $g_3(x) = \sin\left(\frac{x}{\pi}\right)$ zu analysieren und ihre Frequenzen und Perioden zu vergleichen. 2. Die allgemeine Form einer Sinusfunktion ist $\sin(kx)$, wobei $k$ die Frequenz beeinflusst. Die Periode $T$ einer Sinusfunktion ist gegeben durch die Formel: $$T = \frac{2\pi}{k}$$ 3. Berechnung der Perioden: - Für $f(x) = \sin(0{,}5x)$ gilt $k = 0{,}5$, also $$T_f = \frac{2\pi}{0{,}5} = 4\pi$$ - Für $g(x) = \sin(2x)$ gilt $k = 2$, also $$T_g = \frac{2\pi}{2} = \pi$$ - Für $h(x) = \sin(4x)$ gilt $k = 4$, also $$T_h = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ - Für $g_1(x) = \sin(3x)$ gilt $k = 3$, also $$T_{g_1} = \frac{2\pi}{3}$$ - Für $g_2(x) = \sin\left(\frac{1}{4}x\right)$ gilt $k = \frac{1}{4}$, also $$T_{g_2} = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 8\pi$$ - Für $g_3(x) = \sin\left(\frac{x}{\pi}\right)$ gilt $k = \frac{1}{\pi}$, also $$T_{g_3} = \frac{2\pi}{\frac{1}{\pi}} = 2\pi^2$$ 4. Zusammenfassung: - $f(x)$ hat die längste Periode $4\pi$ und somit die niedrigste Frequenz. - $h(x)$ hat die kürzeste Periode $\frac{\pi}{2}$ und somit die höchste Frequenz. - Die Funktionen $g_1$, $g_2$ und $g_3$ haben Perioden $\frac{2\pi}{3}$, $8\pi$ und $2\pi^2$. 5. Die Frequenz ist umgekehrt proportional zur Periode: Je größer $k$, desto höher die Frequenz und desto kürzer die Periode. Dies erklärt die unterschiedlichen Wellenlängen der Sinusfunktionen im Graphen.