1. **Problemstellung:** Untersuche, ob es sich bei den gegebenen Situationen um lineares oder exponentielles Wachstum handelt und notiere die Gleichung der Funktion, die den Wachstumsprozess beschreibt. 2. **Wichtige Regeln:** - Lineares Wachstum bedeutet, dass der Wert um einen festen Betrag pro Zeiteinheit steigt oder fällt. Die allgemeine Gleichung lautet: $$f(t) = f_0 + m \cdot t$$ wobei $$m$$ die konstante Änderungsrate ist. - Exponentielles Wachstum bedeutet, dass der Wert um einen festen Prozentsatz pro Zeiteinheit steigt oder fällt. Die allgemeine Gleichung lautet: $$f(t) = f_0 \cdot a^t$$ wobei $$a = 1 + r$$ mit Wachstumsrate $$r$$ (positiv für Wachstum, negativ für Abnahme). 3. **Lösungen:** **a)** Tom bekommt monatlich 20 € Taschengeld, das jedes Jahr um 5 € erhöht wird. - Hier steigt der Betrag jährlich um einen festen Betrag (5 €), also lineares Wachstum. - Anfangswert: $$f_0 = 20 \times 12 = 240$$ € pro Jahr (angenommen, da monatlich 20 €) - Änderungsrate: $$m = 5 \times 12 = 60$$ € pro Jahr - Funktion: $$f(t) = 240 + 60t$$ **b)** Eine Aushilfe verdient 10 € pro Stunde, der Stundenlohn steigt jährlich um 3,5 %. - Hier steigt der Wert jährlich um einen Prozentsatz, also exponentielles Wachstum. - Anfangswert: $$f_0 = 10$$ € - Wachstumsfaktor: $$a = 1 + 0{,}035 = 1{,}035$$ - Funktion: $$f(t) = 10 \cdot 1{,}035^t$$ **c)** Eine 12 cm hohe Kerze brennt jede Minute um 2 mm herunter. - Hier sinkt die Höhe linear um 0,2 cm pro Minute (2 mm = 0,2 cm), also lineares Wachstum (Abnahme). - Anfangswert: $$f_0 = 12$$ cm - Änderungsrate: $$m = -0{,}2$$ cm/Minute - Funktion: $$f(t) = 12 - 0{,}2t$$ **d)** Ein Notebook kostet 500 €, verliert jedes Jahr die Hälfte seines Werts. - Wert halbiert sich jährlich, also exponentieller Zerfall. - Anfangswert: $$f_0 = 500$$ - Wachstumsfaktor: $$a = 0{,}5$$ - Funktion: $$f(t) = 500 \cdot 0{,}5^t$$ **e)** Eine Hefekultur mit 5 g Hefe verdreifacht stündlich ihre Masse. - Masse wächst um Faktor 3 pro Stunde, exponentielles Wachstum. - Anfangswert: $$f_0 = 5$$ g - Wachstumsfaktor: $$a = 3$$ - Funktion: $$f(t) = 5 \cdot 3^t$$