1. **Problemstellung:** Gegeben ist die Funktion $$f(x) = -\frac{1}{18}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 2$$. Wir sollen rechnerisch die Wendestellen der Funktion bestimmen. 2. **Formel und wichtige Regeln:** Wendestellen liegen dort, wo die zweite Ableitung $$f''(x)$$ gleich Null ist und die Krümmung wechselt. Das bedeutet, wir bestimmen $$f''(x)$$, setzen sie gleich Null und prüfen das Vorzeichenwechselkriterium. 3. **Ableitungen berechnen:** $$f'(x) = -\frac{1}{18} \cdot 3x^2 - \frac{1}{2} \cdot 2x + 0 = -\frac{1}{6}x^2 - x$$ $$f''(x) = -\frac{1}{6} \cdot 2x - 1 = -\frac{1}{3}x - 1$$ 4. **Wendestellen bestimmen:** Setze $$f''(x) = 0$$: $$-\frac{1}{3}x - 1 = 0$$ $$-\frac{1}{3}x = 1$$ $$x = \cancel{-3} \quad \text{(nach Multiplikation mit } -3 \text{)}$$ 5. **Wendestelle prüfen:** Wir prüfen das Vorzeichen von $$f''(x)$$ links und rechts von $$x = -3$$: - Für $$x < -3$$, z.B. $$x = -4$$: $$f''(-4) = -\frac{1}{3}(-4) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3} > 0$$ - Für $$x > -3$$, z.B. $$x = -2$$: $$f''(-2) = -\frac{1}{3}(-2) - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3} < 0$$ Da $$f''(x)$$ von positiv zu negativ wechselt, liegt bei $$x = -3$$ eine Wendestelle vor. 6. **Wendestellenkoordinate berechnen:** $$f(-3) = -\frac{1}{18}(-3)^3 - \frac{1}{2}(-3)^2 + 2 = -\frac{1}{18}(-27) - \frac{1}{2}(9) + 2 = \frac{27}{18} - 4.5 + 2 = 1.5 - 4.5 + 2 = -1$$ **Antwort:** Die Funktion hat eine Wendestelle bei $$W(-3|-1)$$.