1. **Stel het probleem vast:** We onderzoeken cirkelspiegeling, een reflectie van punten ten opzichte van een cirkel. 2. **Wat is cirkelspiegeling?** Cirkelspiegeling is een transformatie waarbij elk punt $P$ wordt afgebeeld op een punt $P'$ zodat $P$ en $P'$ samen met het middelpunt $O$ van de cirkel op één lijn liggen en de producten van hun afstanden tot $O$ gelijk zijn aan het kwadraat van de straal $r$ van de cirkel: $$OP \times OP' = r^2$$ 3. **Welke punten hebben meer dan één beeld?** Normaal gesproken heeft elk punt $P$ één uniek beeld $P'$. Maar er zijn uitzonderingen: - Het middelpunt $O$ van de cirkel heeft geen beeld (want $OP=0$ en $OP' = \frac{r^2}{0}$ is niet gedefinieerd). - Punten op de cirkel zelf zijn hun eigen beeld, want $OP = r$ en dus $OP' = r$. - Punten die op de lijn door $O$ en $P$ liggen, kunnen soms hetzelfde beeld hebben als een ander punt, vooral als ze symmetrisch liggen ten opzichte van de cirkel. 4. **Uitleg van de eerste tekening:** - Er is een horizontale lijn met een cirkel en punten $p_1$, $p_2$ en hun beelden $p'$. - De rode en blauwe bogen geven aan dat $p'$ het beeld is van zowel $p_1$ als $p_2$. - Dit betekent dat $p_1$ en $p_2$ verschillende punten zijn die door cirkelspiegeling op hetzelfde punt $p'$ worden afgebeeld. 5. **Wat betekent dit?** - Cirkelspiegeling is een involutie: als $p'$ het beeld is van $p_1$, dan is $p_1$ ook het beeld van $p'$. - Maar als $p_1$ en $p_2$ verschillende punten zijn die hetzelfde beeld $p'$ hebben, dan zijn $p_1$ en $p_2$ elkaars beelden via de cirkelspiegeling. - Dit gebeurt als $p_1$ en $p_2$ op dezelfde lijn door $O$ liggen en voldoen aan $OP_1 \times OP_2 = r^2$. 6. **Samenvatting:** - Punten die het beeld zijn van meer dan één punt zijn paren van punten die elkaars spiegelbeeld zijn via de cirkel. - In de eerste tekening zie je zo'n paar: $p_1$ en $p_2$ hebben hetzelfde beeld $p'$. **Eindantwoord:** De punten die het beeld zijn van meer dan één punt zijn precies de paren punten die elkaars cirkelspiegelbeeld zijn, behalve het middelpunt en de punten op de cirkel zelf.