1. **Stel het probleem vast:** We onderzoeken of het klopt dat als punt $P_2$ verder van de cirkel ligt dan de straal, het beeld $P'$ voorbij het middelpunt van de cirkel komt en daardoor een tweede spiegeling heeft, namelijk $P_1$. 2. **Formule en regels:** Bij inversie ten opzichte van een cirkel met middelpunt $O$ en straal $r$ geldt voor een punt $P$ met beeld $P'$: $$OP \times OP' = r^2$$ waarbij $OP$ en $OP'$ de afstanden zijn van $P$ en $P'$ tot het middelpunt $O$. 3. **Analyse:** - Als $P_2$ verder van $O$ ligt dan de straal $r$, dan is $OP_2 > r$. - Volgens de inversieformule geldt dan: $$OP' = \frac{r^2}{OP_2}$$ - Omdat $OP_2 > r$, volgt dat $OP' < r$. 4. **Conclusie:** - Het beeld $P'$ ligt dus binnen de cirkel, dichter bij $O$ dan de straal. - Het beeld $P'$ kan dus niet voorbij het middelpunt liggen (want $OP'$ is een afstand, altijd positief en kleiner dan $r$). - Er is dus geen tweede spiegeling $P_1$ voorbij het middelpunt als $P_2$ buiten de cirkel ligt. 5. **Samenvatting:** De inversie zorgt ervoor dat punten buiten de cirkel worden afgebeeld binnen de cirkel, en punten binnen de cirkel worden afgebeeld buiten de cirkel. Het beeld $P'$ van $P_2$ ligt dus altijd aan de tegenovergestelde kant van de cirkel ten opzichte van $P_2$, maar nooit voorbij het middelpunt. Daarom is de bewering niet correct.