1. **Stel het probleem vast:** We hebben een rechthoekig trapezium ABCD met gegeven zijden AB = 6, AD = 1, BC = 4, en punt E op lijn AC zodat BE loodrecht staat op AC. 2. **Doel:** Bereken exact de lengte van BE. 3. **Formule en aanpak:** We gebruiken coördinaten om de punten te bepalen en vervolgens de afstand BE te berekenen. 4. **Coördinaten toewijzen:** - Stel A op (0,0). - Omdat AB horizontaal is en 6 lang, is B op (6,0). - AD is verticaal en 1 lang, dus D is op (0,1). - BC is verticaal en 4 lang, dus C is op (6,4). 5. **Bepaal vector AC:** $$\overrightarrow{AC} = (6-0, 4-0) = (6,4)$$ 6. **Parametriseer lijn AC:** Punt E ligt op AC, dus: $$E = A + t\overrightarrow{AC} = (6t, 4t)$$ waar $t$ een parameter is tussen 0 en 1. 7. **Voorwaarde BE \perp AC:** Vectoren $\overrightarrow{BE}$ en $\overrightarrow{AC}$ zijn loodrecht, dus hun inwendige product is 0: $$\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$ 8. **Bereken vector BE:** $$\overrightarrow{BE} = E - B = (6t - 6, 4t - 0) = (6(t-1), 4t)$$ 9. **Stel de loodrechtvoorwaarde op:** $$\overrightarrow{BE} \cdot \overrightarrow{AC} = 6(t-1) \cdot 6 + 4t \cdot 4 = 0$$ $$36(t-1) + 16t = 0$$ 10. **Los op voor t:** $$36t - 36 + 16t = 0$$ $$52t = 36$$ $$t = \frac{36}{52} = \frac{9}{13}$$ 11. **Bepaal coördinaten van E:** $$E = (6 \cdot \frac{9}{13}, 4 \cdot \frac{9}{13}) = \left(\frac{54}{13}, \frac{36}{13}\right)$$ 12. **Bereken lengte BE:** $$BE = \sqrt{(6 - \frac{54}{13})^2 + (0 - \frac{36}{13})^2}$$ $$= \sqrt{\left(\frac{78}{13} - \frac{54}{13}\right)^2 + \left(-\frac{36}{13}\right)^2}$$ $$= \sqrt{\left(\frac{24}{13}\right)^2 + \left(\frac{36}{13}\right)^2}$$ $$= \sqrt{\frac{576}{169} + \frac{1296}{169}} = \sqrt{\frac{1872}{169}} = \frac{\sqrt{1872}}{13}$$ 13. **Vereenvoudig $\sqrt{1872}$:** $$1872 = 16 \times 117 = 16 \times 9 \times 13$$ $$\sqrt{1872} = \sqrt{16 \times 9 \times 13} = 4 \times 3 \times \sqrt{13} = 12\sqrt{13}$$ 14. **Eindantwoord:** $$BE = \frac{12\sqrt{13}}{13}$$ Dus de exacte lengte van BE is $$\boxed{\frac{12\sqrt{13}}{13}}$$.