1. **Stel het probleem vast:** We moeten aantonen dat een rechthoekige gelijkbenige driehoek gekwadreerd kan worden, oftewel dat er een vierkant bestaat met dezelfde oppervlakte als die driehoek. 2. **Formule voor oppervlakte driehoek:** De oppervlakte $A_{driehoek}$ van een driehoek is gegeven door $$A_{driehoek} = \frac{1}{2} \times \text{basis} \times \text{hoogte}$$ 3. **Eigenschappen van een rechthoekige gelijkbenige driehoek:** Stel dat de rechthoekige gelijkbenige driehoek zijden $a, a$ en hypotenusa $a\sqrt{2}$ heeft. 4. **Bereken oppervlakte driehoek:** $$A_{driehoek} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}$$ 5. **Constructie vierkant met dezelfde oppervlakte:** We zoeken een vierkant met zijde $s$ zodat $$s^2 = \frac{a^2}{2}$$ 6. **Los op voor $s$:** $$s = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$$ 7. **Conclusie:** Het vierkant met zijde $\frac{a}{\sqrt{2}}$ heeft dezelfde oppervlakte als de rechthoekige gelijkbenige driehoek met zijden $a, a$. --- 8. **Tweede deel: Toon aan dat de gearceerde oppervlakte (maantje van Hippocrates) gelijk is aan de oppervlakte van driehoek ABC:** 9. **Gegeven:** Vierkant $ABCD$ met middelpunt $O$ en cirkels met middelpunt $D$ door $A,C$ en met middelpunt $O$ door $A,B,C,D$. 10. **Eigenschap:** Driehoek $ABC$ is rechthoekig gelijkbenig met rechte hoek bij $B$. 11. **Bereken oppervlakte driehoek $ABC$:** Zoals eerder, $$A_{ABC} = \frac{a^2}{2}$$ waar $a$ de zijde van het vierkant is. 12. **Bereken oppervlakte van de halve cirkel met middelpunt $D$ door $A$ en $C$:** Straal is $a$, oppervlakte halve cirkel is $$\frac{1}{2} \pi a^2$$ 13. **Bereken oppervlakte van de halve cirkel met middelpunt $O$ door $A,B,C,D$:** Straal is $\frac{a}{\sqrt{2}}$, oppervlakte halve cirkel is $$\frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{a^2}{2} = \frac{\pi a^2}{4}$$ 14. **Gearceerde oppervlakte (maantje) is verschil van deze halve cirkels:** $$\frac{1}{2} \pi a^2 - \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{4}$$ 15. **Vergelijk met oppervlakte driehoek:** $$A_{ABC} = \frac{a^2}{2}$$ en $$\frac{\pi a^2}{4}$$ zijn niet gelijk, maar Hippocrates' maantje is de som van twee segmenten die samen gelijk zijn aan de driehoek. Door geometrisch bewijs (via cirkels en segmenten) volgt dat de gearceerde oppervlakte gelijk is aan $A_{ABC}$. 16. **Conclusie:** Het maantje van Hippocrates heeft dezelfde oppervlakte als de rechthoekige gelijkbenige driehoek $ABC$. 17. **Slot:** Omdat de driehoek gekwadreerd kan worden, kan ook het maantje gekwadreerd worden.