1. **Stel het probleem vast:** We hebben een cirkel met straal $5$ en willen de verhouding tussen de oppervlaktes van de grootste driehoek en de grootste vierhoek die volledig binnen de cirkel passen. 2. **Formules en regels:** - De grootste driehoek in een cirkel is een gelijkzijdige driehoek die in de cirkel past. - De grootste vierhoek in een cirkel is een vierkant dat in de cirkel past. - Oppervlakte van een gelijkzijdige driehoek met zijde $a$ is $$A_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^{2}$$ - Oppervlakte van een vierkant met zijde $s$ is $$A_{4} = s^{2}$$ 3. **Bepaal de zijden van de grootste driehoek en vierkant in de cirkel:** - De diameter van de cirkel is $d = 2 \times 5 = 10$. - Voor de gelijkzijdige driehoek geldt dat de omgeschreven cirkelstraal $R$ is gerelateerd aan zijde $a$ door $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ Dus $$a = R \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$$ - Voor het vierkant geldt dat de diagonaal gelijk is aan de diameter van de cirkel, dus $$d = s \sqrt{2}$$ Dus $$s = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2}$$ 4. **Bereken de oppervlaktes:** - Driehoek: $$A_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} (5 \sqrt{3})^{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 25 \times 3 = \frac{75 \sqrt{3}}{4}$$ - Vierkant: $$A_{4} = (5 \sqrt{2})^{2} = 25 \times 2 = 50$$ 5. **Bereken de verhouding van de oppervlaktes:** $$\text{verhouding} = \frac{A_{3}}{A_{4}} = \frac{\frac{75 \sqrt{3}}{4}}{50} = \frac{75 \sqrt{3}}{4} \times \frac{1}{50} = \frac{75 \sqrt{3}}{200} = \frac{3 \sqrt{3}}{8}$$ **Antwoord:** De verhouding tussen de oppervlaktes van de grootste driehoek en het grootste vierkant in de cirkel is $$\boxed{\frac{3 \sqrt{3}}{8}}$$.