1. **Énoncé du problème** : Le prix d'un actif peut augmenter de 5% ou diminuer de 4% chaque jour par rapport au jour précédent. Le prix initial est de 20. On doit représenter un arbre des mouvements possibles sur 3 jours et déterminer le nombre de scénarios différents. 2. **Formule et règles importantes** : - Si le prix initial est $P_0$, alors après une hausse de 5%, le nouveau prix est $P_0 \times 1{,}05$. - Après une baisse de 4%, le nouveau prix est $P_0 \times 0{,}96$. - Chaque jour, il y a 2 choix (hausse ou baisse), donc le nombre total de scénarios après $n$ jours est $2^n$. 3. **Construction de l'arbre des prix** : - Jour 0 : $20$ - Jour 1 : - Hausse : $20 \times 1{,}05 = 21$ - Baisse : $20 \times 0{,}96 = 19{,}2$ - Jour 2 : - À partir de 21 : - Hausse : $21 \times 1{,}05 = 22{,}05$ - Baisse : $21 \times 0{,}96 = 20{,}16$ - À partir de 19,2 : - Hausse : $19{,}2 \times 1{,}05 = 20{,}16$ - Baisse : $19{,}2 \times 0{,}96 = 18{,}43$ - Jour 3 : - À partir de 22,05 : - Hausse : $22{,}05 \times 1{,}05 = 23{,}15$ - Baisse : $22{,}05 \times 0{,}96 = 21{,}17$ - À partir de 20,16 (de 21 puis baisse) : - Hausse : $20{,}16 \times 1{,}05 = 21{,}17$ - Baisse : $20{,}16 \times 0{,}96 = 19{,}35$ - À partir de 20,16 (de 19,2 puis hausse) : - Hausse : $20{,}16 \times 1{,}05 = 21{,}17$ - Baisse : $20{,}16 \times 0{,}96 = 19{,}35$ - À partir de 18,43 : - Hausse : $18{,}43 \times 1{,}05 = 19{,}35$ - Baisse : $18{,}43 \times 0{,}96 = 17{,}69$ 4. **Nombre de scénarios différents** : - Chaque jour, 2 choix possibles. - Pour 3 jours, nombre total de scénarios = $2^3 = 8$. **Réponse finale** : Il y a 8 scénarios différents possibles pour le prix de l'actif sur les 3 jours suivants.