1. Énoncé du problème : Montrer que si pour toute fonction de répartition $F$, on a $$\lim_{n \to +\infty} E[F(X_n)] = E[F(X)],$$ alors la suite de variables aléatoires $(X_n)$ converge en loi vers $X$, noté $X_n \xrightarrow{L} X$. 2. Rappel de la définition de la convergence en loi : Une suite $(X_n)$ converge en loi vers $X$ si et seulement si pour toute fonction continue bornée $g$, on a $$\lim_{n \to +\infty} E[g(X_n)] = E[g(X)].$$ 3. Interprétation de l'hypothèse : Ici, la condition est donnée pour toute fonction de répartition $F$, qui est une fonction croissante, à valeurs dans $[0,1]$, et continue à droite. Ces fonctions sont des fonctions caractéristiques des variables aléatoires. 4. Passage à la convergence en loi : Les fonctions de répartition $F$ sont des fonctions caractéristiques dans le sens où elles déterminent la loi de la variable aléatoire. La convergence des espérances $E[F(X_n)]$ vers $E[F(X)]$ pour toute fonction de répartition $F$ implique la convergence en loi de $X_n$ vers $X$. 5. Conclusion : Ainsi, la condition $$\lim_{n \to +\infty} E[F(X_n)] = E[F(X)]$$ pour toute fonction de répartition $F$ entraîne que $$X_n \xrightarrow{L} X.$$