1. **Énoncé du problème :** Un étudiant parcourt 40 km chaque jour. Sa vitesse $X$ est une variable aléatoire avec une densité de probabilité donnée par $$f(x) = \begin{cases} a e^{-2x} & \text{si } x \geq 0 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$ Nous devons : - Trouver $a$ pour que $f$ soit une densité valide. - Calculer l'espérance $E(X)$. - Calculer la variance $Var(X)$ et l'écart-type $\sigma$. 2. **Déterminer $a$ :** Pour que $f$ soit une densité, l'intégrale sur $\mathbb{R}$ doit valoir 1 : $$\int_0^{+\infty} a e^{-2x} dx = 1$$ Calculons l'intégrale : $$a \int_0^{+\infty} e^{-2x} dx = a \left[-\frac{1}{2} e^{-2x} \right]_0^{+\infty} = a \times \frac{1}{2}$$ Donc $$a \times \frac{1}{2} = 1 \implies a = 2$$ 3. **Calculer l'espérance $E(X)$ :** Formule : $$E(X) = \int_0^{+\infty} x f(x) dx = \int_0^{+\infty} x \cdot 2 e^{-2x} dx$$ Utilisons l'intégration par parties : Soit $u = x$, $dv = 2 e^{-2x} dx$, alors $du = dx$, $v = - e^{-2x}$. $$E(X) = \left. -x e^{-2x} \right|_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} e^{-2x} dx = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ 4. **Calculer $E(X^2)$ :** $$E(X^2) = \int_0^{+\infty} x^2 \cdot 2 e^{-2x} dx$$ Utilisons la formule de l'espérance pour la loi exponentielle avec paramètre $\lambda=2$ : $$E(X^2) = \frac{2!}{\lambda^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ 5. **Calculer la variance et l'écart-type :** $$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$$ $$\sigma = \sqrt{Var(X)} = \frac{1}{2}$$ **Réponses finales :** - $a = 2$ - $E(X) = \frac{1}{2}$ - $Var(X) = \frac{1}{4}$ - $\sigma = \frac{1}{2}$